Научни публикации 1
Научни публикации 2
Научни публикации 3
Научни публикации 4
Научни публикации 5
Попул. Публикации 1
Попул. Публикации 2
Пламен Сидеров
Диана Левченко
Азнив Каспарян
Мая Стоянова
Асен Божилов
Евгения Великова
Силвия Бумова
Семинар по алгебра
| вид: | изборен | Курс 1, 2, 3, 4; летен семестър |
|---|---|---|
| хорариум: | 3 часа лекции + 0 часа семинар | |
| изисквания: | алгебрични познания в рамките на курса "Линейна алгебра" | |
| специалност: | "Математика", "Математика и Информатика", "Информатика", "Приложна Математика" |
|
| преподавател: | гл. ас. Татяна Тодорова | |
| разписание: | Курсът не се чете през този семестър. | |
Анотация
Целта на този учебен семинар е задълбочаване знанията на
студентите по линейна алгебра и висша алгебра. Ще бъдат
изучавани, като допълнение на основните курсове "Линейна
алгебра" и "Висша алгебра", следните алгебрични структури:
линейни пространства, групи, модули, пръстени и полета.
Забележка: за семинара ще бъдат записани не повече от 30 студенти.
Примерен конспект 
- Инвариантни подпространства относно действието на линеен оператор.
- Жорданова нормална форма - съществуване.
- Жорданова нормална форма -единственост.
- Жорданова нормална форма на линеен оператор: примери.
- Теорема на Хамилтон-Кейли.
- Унитарни пространства. Унитарни и ортогонални оператори.
- Теорема на Ойлер за ортогоналните преобразования.
- Ермитови оператори. Собствени вектори и стойности.
- Билинейни и квадратични форми.
- Положително дефинитни квадратични форми. Метод на Якоби. Критерий на Силвестър.
- Теореми за минимакса.
- Модули над пръстени.
- Доказателство на теоремата на Хамилтон-Кейли, използуващо модули.
- Области на главни идеали. Единственост на разлагането на прости елементи в област на главни идеали.
- Структура на крайнопородените абелеви групи - съществуване.
- Структура на крайнопородените абелеви групи - единственост.
- Структура на крайнопородените модули над области на главни идеали.
- Приложения на структурната теорема за крайно породени подули над области на главни идеали. Жорданова нормална форма.
- Прости групи. Простота на алтернативната група.
- Простота на матричния пръстен над поле.
- Алгебрична обвивка на поле.
- Сепарабелни и чисто несепарабелни разширения на полета. Примери.
- Алгебрични и трансцендентни числа.
- Трансцендентност на e.
- Квадратични остатъци - критерий на Ойлер. Квадратичен закон за реципрочност (елементарно доказателство).
- Суми на Гаус. Доказателство на квадратичния закон за реципрочност чрез суми на Гаус.
- Представяне на естествените числа като сума на квадрати.
- Крайни полета.
- Неразложими полиноми над крайни полета.
- Доказателство на квадратичния закон за реципрочност чрез крайни полета.
Литература
- К. Дочев, Д. Димитров,
Линейна алгебра
,
Наука и изкуство, 1977.
- Пл. Сидеров, Записки по алгебра. Линейна алгебра, 2001.
- Пл. Сидеров, К. Чакърян, Записки по алгебра. Висша алгебра, 2001.
- А. Кострикин,
Увод в алгебрата
, София 1981.
- Г. Генов, С. Миховски, Т. Моллов,
Алгебра с теория на числата
,
Наука и изкуство, 1991. -
К. Айерленд, М. Розен, Классическое введение в современную
терию чисел, 1987.
- М. Постников, Введение в теорию алгебраичиских чисел, 1982.