Алгоритмичен подход към алгебричната геометрия

Анотация

Настоящият курс реализира алгоритмичен подход към алгебричната геометрия посредством приложение на Теоремата на Риман-Рох за пълни гладки криви към построяване на алгебро-геометрични кодове и оценка на тяхната дължина, размерност и минимално разстояние. Изложението започва с най-основни понятия от алгебричната геометрия като афинно и проективно многообразие, топология на Зариски, неприводими компоненти. Обсъждат се регулярните и рационални функции и изображения, допирателното пространство на Зариски. Разглежда се размерността на неприводимо многообразие, неговата бирационалност с хиперповърхнина, както и Лемата на Ньотер за нормализация. Изучават се пръстените на дискретно нормиране в 1-мерни ньотерови области. Установява се взаимно-еднозначно съответствие между пълни гладки криви и 1-мерни функционални полета. Това предоставя алгебричен подход за изучаване на криви над алгебрично затворени полета с произволна характеристика. Изложението на Теоремата на Риман-Рох за пълни гладки криви се базира върху аделния подход. Някои резултати за попълнения и диференциални форми се използват без доказателство.

Конспект

1. Мотивация.
2. Афинни и проективни пространства и многообразия. Топология на Зариски.
3. Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен.
4. Теорема на Хилберт за нулите.
5. Разлагане на многообразие в обединение от неприводими компоненти.
6. Регулярни функции и изображения.
7. Рационални функции и изображения.
8. Допирателно пространство на Зариски.
9. Пръстени на нормиране. Теорема за продължение.
10. Размерност. Лема на Ньотер за нормализация.
11. Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина.
12. Пред-многообразия.
13. Пълни многообразия.
14. Пълни гладки криви.
15. Дивизори и линейни системи.
16. Теорема на Риман-Рох и нейни приложения в кодирането.

Литература

1. Bump D., Algebraic Geometry, World Scientific, 1998.
2. Harris J., Algebraic Geometry - A First Course, Springer, 1995.
3. Tsfasman M. A., S. G. Vladut, Algebraic-Geometric Codes, Kluwer Academic Publishers, 1991.
4. Walker J. L., Codes and Curves, American Mathematical Society, 2000.