Комбинаторна теория на пръстените

вид:	изборен	Курс 2; летен семестър
хорариум:	3 часа лекции
изисквания:	познания по алгебра в рамките на курсовете "Линейна алгебра" и "Висша алгебра"
специалност:	"Математика",  "Приложна Математика", "Статистика",  "Математика и Информатика", "Информатика",  "Компютърни науки", "Информационни системи",  "Софтуерно инженерство"
преподавател:	чл.-кор. проф. дмн Веселин Дренски
разписание:	Курсът не се чете през този семестър.

Анотация

Целта на курса е да запознае слушателя с основни резултати в комбинаторната теория на пръстените, с приложения в компютърната алгебра. Това ще му позволи да следи други курсове, които използват тази теория, както и да чете статии в съответните области. За следенето на курса ще бъдат достатъчни знанията от стандартните курсове по линейна и висша алгебра.

Тематичен План

№	Тема	лекции
1.	Компютърна комутативна алгебра.	6 часа
2.	Автоморфизми на полиномни алгебри.	6 часа
3.	Теория на инвариантите.	3 часа
4.	Пресмятания в некомутативни алгебри.	6 часа
5.	Ръст и размерност на Гелфанд-Кирилов.	6 часа
6.	Известни проблеми в теория на пръстените.	3 часа
7.	Полиномни тъждества в конкретни алгебри.	6 часа
8.	Теореми на Регев.	3 часа
9.	Крайно-породени PI-алгебри.	6 часа

Конспект

Комутативна алгебра

1. Компютърен подход към теория на идеалите в полиномни алгебри. Базиси на Грьобнер. Приложения: Работа във фактор-алгебри. Съвместимост на системи алгебрични уравнения.
2. Размерност на Гелфанд-Кирилов на крайно-породени комутативни алгебри.
3. Автоморфизми и дифереренцирания на полиномни алгебри. Алгоритъм за разпознаване на автоморфизмите и намиране на обратните им. Автоморфизми на полиномните алгебри на две променливи.
4. Теория на инвариантите на крайните групи. Теорема на Еми Ньотер за крайната породеност на алгебрата на инвариантите на крайна група. Формула на Молин за реда на Хилберт на алгебрата на инвариантите.

Асоциативни алгебри

1. Базиси на Грьобнер в свободната асоциативна алгебра.
2. Приложения на базисите на Грьобнер: Грасманова алгебра. Алгебри на Клифорд. Теорема на Поанкаре-Биркхоф-Вит за универсалните обвиващи на алгебрите на Ли и теорема на Вит за свободната алгебра на Ли.
3. Алгебри с междинен ръст.
4. Размерност на Гелфанд-Кирилов. Възможни стойности за размерността.
5. Проблеми на Бърнсайд и Курош. Контрапримери на Голод и Шафаревич.

Алгебри с полинимни тъждества (PI-алгебри)

1. Тъждества в грасмановата алгебра и алгебрата на горно-триъгълните матрици.
2. Тъждества в матричните алгебри. Теорема на Амицур-Левицки и централни полиноми.
3. Теорема на Нагата-Хигман за нилпотентност на нил-алгебрите от ограничен индекс.
4. Теореми на Регев за ръста на коразмерностите и за тензорното произведение на PI-алгебри.
5. Теорема на Ширшов за височината. Следствия: Положително решение на проблема на Курош за PI-алгебри. Теорема на Берел за крайната размерност на Гелфанд-Кирилов на крайно-породените PI-алгебри.

Записки

• Комутативна алгебра

  • Първи лекции
  • Инварианти и автоморфизми на полиномни алгебри , записки от Hong Kong, 2001 г.
  • Полиномни алгебри и техните автоморфизми , записки от Hong Kong, 2005 г.
  • Инварианти на крайни групи по Еми Ньотер

• Асоциативни алгебри

  • Определящи съотношения на некомутативни пръстени , записки от Палермо, 1998 г.
  • Редове на Хилберт на свободни алгебри на Ли

• Алгебри с полиномни тъждества

  • Алгебри с полиномни тъждества и българският принос към тях , разширен вариант на статия по случай 60-тата годишнина на ИМИ на БАН, 2007 г.

Литература

1. W.W. Adams, P. Loustaunau, An Introduction to Grőbner Bases, Graduate Studies in Math. 3, AMS, Providence, R.I., 1994.
2. M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra ”, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1969. (има руски превод ).
3. T. Becker, V. Weispfenning, Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra , in cooperation with H. Kredel, Graduate Texts in Math. 141 Springer-Verlag, New York, 1993.
4. S. Lang, Algebra , Third Edition, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1993. (има руски превод ).
5. M. Zorn, A remark on method in transfinite algebra , Bull. Amer. Math. Soc. 41 (1935), 667-670.
6. T.A. Springer, Invariant Theory, Lect. Notes in Math. 585, Springer-Verlag, 1977 (има руски превод ).
7. V.A. Ufnarovsky, Combinatorial and asymptotic methods in algebra, in A.I. Kostrikin, I.R. Shafarevich (Eds.), ”Algebra VI ”, Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Springer-Verlag, 1995, 1-196 (има руски оригинал ).
8. G.R. Krause, T.H. Lenegan, Growth of Algebras and Gelfand-Kirillov Dimension, Pitman Publ., London, 1985 (Second edition by AMS).
9. I.N. Herstein, Noncommutative Rings, Carus Math. Monographs 15, Wiley and Sons, Inc., New York, 1968 (има руски превод ).
10. V. Drensky, Free Algebras and PI-Algebras, Springer, Singapore, 1999.