Научни публикации 1
Научни публикации 2
Научни публикации 3
Научни публикации 4
Научни публикации 5
Попул. Публикации 1
Попул. Публикации 2
Пламен Сидеров
Диана Левченко
Азнив Каспарян
Мая Стоянова
Асен Божилов
Евгения Великова
Силвия Бумова
Алгебрични Структури I
| вид: | задължителен | Курс 1 - зимен семестър |
|---|---|---|
| хорариум: | 3 часа лекции + 3 часа семинар + 2 часа практикум | |
| специалност: | "Информационни Системи" | |
| преподавател: | доц. Е. Великова | |
Анотация
Целта на този курс е запознаване с основните понятия на алгебрата - теоретични и приложни. Студентите се запознават с множества и основни конфигурации, делимост и сравнения при целите числа, комплексни числа, булеви функции и графи. По-подробно се разглеждат базовите алгебрични структури - полиноми (делимост, разложимост и корени), линейни пространства, детерминанти, матрици и системи уравнения, както и абстрактните понятия пръстен и поле и се дават примери на крайни полета. Демонстрират се приложенията на разглеждания материал в геометрията и в теорията на кодирането.
Тематичен План
| № | Тема | лекции | упражнения | практикум |
|---|---|---|---|---|
| 1. | Множества, комбинаторни конфигурации, графи и булеви функции. | 9 часа | 5 часа | 4 часа |
| 2. | Линейни пространства и линейни системи. | 8 часа | 9 часа | 4 часа |
| 3. | Действия с матрици и детерминанти. | 8 часа | 9 часа | 6 часа |
| 4. | Делимост и сравнения при целите числа. | 5 часа | 6 часа | 4 часа |
| 5. | Полиноми - делимост, неразложимост и корени. | 6 часа | 9 часа | 4 часа |
| 6. | Комплексни числа. Пръстени и полета, получаване на крайно поле. | 6 часа | 5 часа | 4 часа |
| 7. | Приложения в кодирането и геометрията. | 3 часа | 2 часа | 4 часа |
Примерен конспект
- Комплексни числа. Полета. Числови полета.
- Линейно пространство – основни свойства и примери. Линейна обвивка и линейно подпространство.
- Линейна зависимост и независимост. Основна лема на линейната алгебра.
- Базис, размерност, координати. Размерност на сумата на подпространства.
- Ранг на система вектори и ранг на матрица.
- Системи линейни уравнения. Теорема на Руше. Хомогенни системи.
- Детерминанти - определение и основни свойства.
- Развитие на детерминанта по ред и по стълб, фалшиво развитие. Формули на Крамер. Детерминанта на Вандермонд.
- Действия с матрици. Обратима матрица и намиране на обратна матрица.
- Делимост при целите числа, НОД, прости числа и основна теорема на аритметиката. Функция на Ойлер.
- Сравнения при целите числа. Остатъци по модул n. Пръстенът Zn.
- Полиноми над поле. Деление с частно и остатък. Най-голям общ делител. Алгоритъм на Евклид.
- Неразложими полиноми. Лема на Гаус. Критерий на Айзенщайн.
- Корени на полиномите, кратни корени. Правило на Хорнер. Формули на Виет.
- Пръстени и полета – обратими елементи и делители на нулата. Подпръстени.
- Множества – основни аксиоми. Декартово произведение на множества и функции.
- Основни комбинаторни конфигурации - пермутации, вариации и комбинации със и без повторения. Нютонов бином.
- Булеви функции. Формули и пълни множества от функции, Теорема на Бул. Полиноми на Жегалкин.
- Релации. Графи – ориентирани и неориентирани. Матрица на съседствата. Пътища в граф. Дървета.
- Релации на еквивалентност. Класове на еквивалентност и фактормножество. Факторпръстена F[x]/(f(x)) и начин за получаване на крайни полета.
- Шумозащитни кодове. Метрика на Хеминг. Двоичен линеен код - пораждаща матрица, минимално разстояние и проверочна матрица . Двоичен симплекс код и код на Хеминг.
- Съседни класове и синдроми при двоични линейни кодове. Декодиране на двоичен код чрез таблица на Слепян и чрез синдроми. Декодиране на кодовете на Хеминг.
Литература
- Биркхоф Г., Барти Т., Съвременна приложна алгебра, Техника, София, 1978.
- Манев К., Увод в дискретната математика.
- Сидеров П., Записки по алгебра – линейна алгебра, Веди, София, 2004.
- Сидеров П., Записки по алгебра – групи, пръстени и полиноми, Веди, София, 2004.
- Кострикин А., Въведение в алгебрата, Наука и изкуства, София, 1981 г.
- Великова-Бандова Е., Двоични шумозащитни кодове, ФОИ-Комерс, София, 2004.
- Г. Генов, Ст. Миховски, Т. Моллов, Алгебра с теория на числата, София, 1981.