Алгебрична теория на числата

Класическата теория на алгебричните числа е изключително съдържателна и богата математическа дисциплина, която е изиграла централна роля при възникването на съвременната алгебра. Целта на този курс е да запознае студентите с основните обекти и понятия на теорията и да даде известна представа за нейните връзки с теорията на римановите повърхности и алгебричната геометрия. В началото на курса се въвежда необходимият алгебричен апарат (цели елементи и цели разширения) и се дава дефиниция на дедекиндов пръстен, след което се доказва, че всеки пръстен на алгебрични числа е дедекиндов пръстен. Установява се, че всеки идеал в дедекиндов пръстен се представя по единствен начин като произведение на прости идеали и се въвежда групата на класовете от идеали. Дават се примери на разклоняване на прости идеали и се разглежда аналогията между точките на разклоняване на риманова повърхност и разклоняващите се прости идеали в пръстен на алгебрични числа. Доказва се, че броят на класовете от идеали на пръстен от алгебрични числа е краен, като за доказателството на тази фундаментална теорема се привличат значителни аналитични ресурси. Теоремата на Дирихле за единиците е друг пример за използуването на математически анализ в теорията на алгебричните числа. Разглеждат се също алгебричните числа в циклотомични разширения и тяхната връзка с теоремата на Ферма. Последният раздел на курса е посветен на нормирания на полета, пръстени на нормиране и тяхното приложение в теорията на числата и алгебричната геометрия.