Приложна алгебрична геометрия

Анотация

Настоящият курс е въведение в алгебричната геометрия и някои нейни приложения в теория на кодирането. Разглежда се действието на абсолютната група на Galois на крайно поле F върху афинно алгебрично многообарзие X, определено над F. Регулярните и рационалните функции и изображения на X се изучават посредством афинните координатни пръстени и функционалните полета на X над разширения на F. Подробно се дискутират размерността и допирателните пространства на Зариски на X, с оглед на конкретни приложения в теорията на шумозещитните кодове.

Втората половина на курса изучава динамиката на минималното разстояние в рамките на допирателните разслоения на X над крайни разширения на F. Специално внимание е отделено на декодирането на допирателни разслоения към X чрез предварително намиране на носителите на грешките, както и на зависимостта на параметрите на допирателните кодове към X от уравненията на X. Като примери се разглеждат почти MDS, циклични и Хемингови допирателни кодове. Проследява се съответствието между някои операции върху афинни многооборазия и индуцираните от тях операции върху допирателните им кодове.

Конспект

1. Начални сведения за кодове.
2. Абсолютна група на Galois на крайно поле.
3. Рационални и затворени точки на алгебрични многообразия.
4. Афинен координатен пръстен на афинно многообразие. Регулярни и рационални функции върху алгебрични многообразия.
5. Морфизми и рационални изображения на алгебрични многообразия.
6. Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви.
7. Размерност на многообразие. Лема на Noether за нормализация.
8. Допирателно пространство на Зариски. Гладки и особени точки.
9. Минимално разстояние на допирателен код в обща точка на афинно многообразие. Морфизми, запазващи размерността и минималното разстояние на общ допирателен код.
10. Екзотични влагания на афинни пространства с априорно зададено минимално разстояние на общите допирателни кодове. Интерполация на фамилии от линейни кодове с фиксирана размерност и произволни минимални разстояния чрез допирателни разслоения на Зариски.
11. Едновременно декодиране на допирателни кодове чрез предварително намиране на носителя на грешката.
12. Поведение на общите допирателни и градиентни кодове към афинно многообразие при промяна на уравненията.
13. Конструкции на почти MDS, циклични и Хемингови допирателни кодове.
14. Операции върху допирателни (градиентни) кодове и съответните им операции върху афинни многообразия - пунктиране, съкращение, директна сума, (u|u+v)-конструкция.
15. Реализация на линейни Хемингови изометрии чрез диференциали на морфизми.

Литература

1. "Лекции по Приложна Алгебрична Геометрия"
2. Niederreiter H., Xing C., Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton University Press, 2009.
3. 3. Великова-Бандова Е., Записки по кодиране - двоични шумозащитни кодове, ФОИ-Комерс, София, 2001.
4. 4. Kasparian A., Velokova E., Tangent codes, arXiv:1409.4583v2[cs.IT].