Висша алгебра

Уводният курс по висша алгебра запознава студентите с езика и методите на съвременната абстрактна алгебра. Основните алгебрични структури, които се изучават в курса, са група, пръстен и поле.

Като правило, курсът започва с аксиоматично изложение на теорията на групите. Въвеждат се основните понятия (подгрупи, хомомоморфизми, изоморфизми) и се доказва теоремата на Кейли, според която всяка крайна група е изоморфна на подгрупа на симетричната група. Дава се дефиниция на циклична група и се доказва, че всяка подгрупа на циклична група е също циклична група. Разглеждането на съседните класове на една подгрупа води до теоремата на Лагранж, от която следва, че редът на всяка подгрупа на крайна група е делител на реда на групата. Една подгрупа е нормална, когато нейните леви и десни съседни класове съвпадат. Множеството от съседните класове на всяка нормална подгрупа притежава естествена групова структура и образува така наречената факторгрупа. Важността на нормалните подгрупи се изяснява от фундаменталната теорема за хомоморфизмите, според която образът на една група при хомоморфизъм и факторгрупата спрямо ядрото на хомоморфизма са изоморфни.

Добре познатите множества на целите числа и полиномите са примери на пръстени. Множествата на рационалните, реалните и комплексните числа са примери на пръстени с комутативно умножение, в които всеки ненулев елемент има мултипликативен обратен - такива пръстени се наричат полета. Дават се общите дефиниции за пръстен и поле и се разглеждат конкретни примери. Дефинира се характеристика на поле и се описват простите полета. Доказва се теоремата за хомоморфизмите на пръстени, в която ролята на нормалните подгрупи се играе от така наречените идеали, а ролята на факторгрупите се играе от факторпръстените.

Голям раздел на курса е посветен на изучаването на пръстените на полиноми с коефициенти в поле, като в началото се установява, че аритметичните свойства на пръстена на полиномите една променлива и пръстена на целите числа са едни и същи. Формулите на Виет, които изразяват коефициентите на един полином чрез елементарните симетрични полиноми на неговите корени, мотивират разглеждането на симетрични полиноми на много променливи. Два важни примера на такива полиноми са дискриминантата на полином една променлива и резултантата на два полинома на една променлива. Дискриминантата дава възможност да се установи дали даден полином има кратен корен, а с помощта на резултантата се установява дали два полинома имат общ корен. Уводният курс по алгебра ще изглежда непълен без доказателство на алгебричната затвореност на полето на комплексните числа - от многото известни доказателства в този курс се отдава предпочитание на едно от първите доказателства на Гаус. В края на този раздел се изучават полиноми с цели и рационални коефициенти и се излагат няколко критерия за неразложимост на полиноми.

Курсът завършва с описание на крайните полета. Доказва се, че броят на елементите на всяко крайно поле е степен на просто число и се дава явна конструкция на всички крайни полета.

Забележка: Съдържанието на курса и последователността на изложение на материала могат се променят в зависимост от специалността на студентите. Например студентите от специалност "Математика" се запознават с разделите за полиноми и крайни полета по време на курса "Висша алгебра II".