Линейна алгебра

Курсът по линейна алгебра запознава слушателите с теорията на линейните пространства и линейните изображения. Курсът се състои от основно ядро и допълнителни теми, които се добавят (или пропускат) в зависимост от специалността на студентите.

В началото на курса се въвежда апарата на матрици и детерминанти, след което се дава общата дефиниция на векторно пространство над произволно поле. Разглеждането на линейно зависими и линейно независими вектори води до дефиницията на базис на едно линейно пространство. Доказва се фундаменталната теорема, че всеки два базиса на едно линейно пространство съдържат еднакъв брой вектори. Това мотивира определението на размерност на едно линейно пространство, като броят на векторите във всеки негов базис. Оказва се, че размерността е единственият алгебричен инвариант на линейните пространства - две пространства с еднаква размерност имат еднакви алгебрични свойства. Използуването на линейни изображения и линейни оператори позволява да се придаде точен смисъл на горното твърдение и да се погледне по нов начин на решаването на линейни системи, както и на теорията на матриците. Доказва се формулата за преобразуване на матрицата на един линеен оператор при смяна на базиса и се дефинират собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор.

Последната част на курса, която има подчертано геометричен характер, е посветена на евклидови и унитарни пространства - линейни пространства в които векторите имат дължина. Доказва се съществуването на ортонормиран базис в евклидово (унитарно) пространство и се излага метода на Грам и Шмид за неговото намиране. Класическата задача за привеждане на квадратична форма към главни оси дава възможност да се демонстрира съдържателността на развитата в курса теория. Тази задача получава прозрачно решение, като се свежда до намирането на ортонормиран базис от собствени вектори на симетричен оператор в евклидово (унитарно) пространство.