Изчислителна алгебрична геометрия

Анотация

Настоящият курс е елементарно въведение в алгебричната геометрия. Разглежда се алгоритъм за деление на полиноми на няколко променливи, теоремата на Хилберт за базиса, построяването на базиси на Грьобнер, елиминацията и продължението, теоремата на Хилберт за нулите и някои нейни следствия.

Конспект

1. Полиноми и афинни пространства.
2. Афинни многообразия - определение, сечение и обединение.
3. Рационална параметризация на афинни многообразия.
4. Съответствие между крайнопородени идеали в полиномиален пръстен и афинни многообразия.
5. Мономни наредби в полиномиален пръстен на няколко променливи - определение, свойства, примери.
6. Алгоритъм за деление на полиноми на няколко променливи.
7. Мономни идеали и лема на Диксон за крайнопороденост на мономен идеал. Критерий за артиновост на линейна наредба, съгласувана с умножението на мономи.
8. Ньотерови пръстени. Теорема на Хилберт за базиса. Базиси на Грьобнер.
9. Характеризация на базисите на Грьобнер. S-полиноми.
10. Алгоритъм на Бухбергер за построяване на базис на Грьобнер. Съществуване и единственост на редуциран базис на Грьобнер.
11. Еднозначно разлагане на полиноми с няколко променливи в произведение от неразложими множители.
12. Резултанта.
13. Теорема за елиминацията и теорема за продължението.
14. Крайни матрични групи и пръстените на техните инвариантни полиноми.
15. Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група.
16. Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен.
17. Теорема на Хилберт за нулите.
18. Операции върху полиномиални идеали и операции върху афинни многообразия.

Литература

1. Cox D., Little J., O'Shea D., Ideals, Varieties and Algorithms - An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative ALgebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer 1997.
2. Harris J., Algebraic Geometry - A First Course, Graduate Texts in Mathematics 133, Springer, 1992.