Елементи от алгебричната геометрия

Анотация

Целта на настоящия курс е да даде популярна представа за предмета и методите на алгебричната геометрия. Той илюстрира синтетичния подход в математиката чрез геометрични и топологични интерпретации на абстрактни алгебрични понятия. Техническите подробности са сведени до минимум. Целта е обогатяване на общата математическа култура и евентуален старт на по-задълбочено специализирано изучаване на алгебричната геометрия.

Конспект

1. Афинни многообразия и действия с тях. Топология на Зариски.
2. Теорема на Hilbert за базиса. Еднозначно разлагане на полиноми.
3. Теорема на Hilbert за нулите и някои нейни следствия.
4. Проективни алгебрични множества. Разлагане на алгебрично множество в крайно обединение на неприводими компоненти.
5. Афинен координатен пръстен. Регулярни функции и изображения.
6. Рационални функции и изображения. Локален пръстен на подмногообразие.
7. Размерност. Лема на Noether за нормализация.
8. Допирателно пространство на Zariski. Гладки и особени точки.
9. Дивизори и линейни системи.
10. Теорема на Chow.
11. Елиптични криви.
12. Грасманиан.
13. Проективни равнинни криви - формула на Riemann-Hurwitz, слаба форма на теоремата на Bezout.

Литература

1. Harris J., Algebraic Geometry - A First Course, Graduate Texts in Mathematics 133, Springer, 1992.
2. Griffiths P., Harris J., Principles of Algebaraic Geometry, John Wiley an Sons, 1978.
3. Шафаревич И.Р., Основы алгебраической геометрии, Наука, 1988.
4. Milne J.S., Algebraic Geometry, Lectures, version 5.22, 2012.
5. 5. Gathmann A., Algebraic Geometryq Notes for a class at University of Kaiserslautern, 2003-2003.