Научни публикации 1
Научни публикации 2
Научни публикации 3
Научни публикации 4
Научни публикации 5
Попул. Публикации 1
Попул. Публикации 2
Пламен Сидеров
Диана Левченко
Азнив Каспарян
Мая Стоянова
Асен Божилов
Евгения Великова
Силвия Бумова
Алгебра II
| вид: | задължителен | Курс 2 - летен семестър |
|---|---|---|
| хорариум: | 3 часа лекции + 3 часа семинар | |
| специалност: | "Компютърни Науки" | |
| преподавател: | Курсът не се чете през този семестър. | |
Анотация
В този курс се въвеждат основите понятия от абстрактната алгебра и теорията на числата, които в последно време намират все по-широко приложение в редица области на информатиката. Целта на курса е студентите да се запознаят и да се научат да боравят със следните основни обекти: групи, сравнения при числата, полиноми, полета. С оглед на приложенията по-подробно се разглеждат крайните групи, симетричната група и действието на група върху множество, а също така при полетата е отделено по-голямо влияние на крайните полета и на начините на представяне на елементите им. Препоръчително е в курса да се разгледат и теоремите на Силов, крайни абелеви групи, квадратични остатъци, закон на Гаус за реципрочност и циклотомични полиноми.
Примерен конспект
- Групи - определения, примери, циклична група и ред на елемент.
- Симетрична и Алтернативна група. Теорема на Кейли.
- Подгрупи и съседни класове. Теорема на Лагранж и приложения.
- Нормална подгрупа, фактор група, хомоморфизъм.
- Действие на група в множество, орбити и стабилизатори.
- Определение и основни свойства на сравненията.
- Обратими елементи в пръстена на класовете остатъци по модул n.
- Основни свойства на функцията на Ойлер. Теорема на Ойлер-Ферма и приложения.
- Сравнения от първа степен. Китайска теорема за остатъците и приложения.
- Показатели по прост модул, примитивни корени по прост модул.
- Операции с полиноми над поле, теорема за делене с частно и остатък.
- Най-голям общ делител на полиноми, алгоритъм на Евклид. Тъждество на Безу.
- Неразложими полиноми. Лема на Гаус за полиноми с цели коефициенти.
- Корени на полиномите, кратни корени, формули на Виет.
- Симетрични полиноми, елементарни симетрични полиноми и степенни сборове, формули на Нютон.
- Пръстени, идеали и факторпръстени.
- Полета, характеристика на поле, прости подполета.
- Разширения на полета, съществуване на разширение на поле, в което даден полином има корен. Поле на разлагане.
- Алгебрични елементи, минимален полином на елемент, алгебрични разширения.
- Крайни полета - основни свойства.
- Крайно поле - съществуване и единственост.
- Мултипликативна група на крайно поле и примитивни елементи.
- Представяне на елементите на крайно поле.
Литература
- П. Сидеров, Записки по алгебра (групи, пръстени, полиноми), Веди, София 2002.
- Г. Биркхоф, Т. Барти, Съвременна приложна алгебра, София 1978.
- Г. Генов, С. Миховски, Т. Моллов, Алгебра с теория на числата
, Наука и изкуство, 1991. - А. Кострикин, Увод в алгебрата , София 1981.
- А. Курош, Курс высшей алгебры, Москва 1975.
- Р. Лидл, Г. Нидеррайтер, Конечные поля, Москва 1988.
-
К. Дочев, Д. Димитров, В. Чуканов, Ръководство за упражнения по висша алгебра (пръстени и полета, полиноми, групи) , Наука и изкуство, 1976.