Тема 5 Числови характеристики на сл.в.

В миналата лекция се запознахме с разпределенията на сл.в. Сега ще разгледаме някои числови характеристики, които се пресмятат само по разпределението. Първо ще определим най - популярната числова характеристика математическото очакване (м.о.) и ще изведем основните му свойства.

5.1 Математическо очакване.

Определение 5.1 Математическо очакване E x на простата сл.в. x приемаща стойности x₁,x₂,...,x_n върху събитията от пълната група (H₁,H₂,...,H_n) определяме като E x = S_k=1ⁿ x_k P (H_k).

От това определение се вижда веднага, че числото E x зависи само от стойностите на x и вероятностите, с които те се приемат, а не зависи от това за кои точно елементарни събития и каква пълна група това става. Т.е. то не зависи от това в какво вероятностно пространство е реализирана сл.в.

Теорема 5.1 За прости сл.в. математическото очакване притежава следните свойства:

монотонност - Ако x < h, то E x < E h;
линейност - E (ax+bh)=aE x+bE h;
мултипликативност - Ако x ^ h, то E xh=E x E h;

Доказателство: Ще използуваме означенията на теорема 4.1. Нека пълната група събития (H₁,H₂,...,H_n) съответствува на сл.в. x, пълната група събития (G₁,G₂,...,G_m) на сл.в. h, а техните стойности са съответно {x₁,x₂,... x_n} и {y₁,y₂,... y_m}. Тогава

xh=

i,j

x_i y_jP

(H_iG_j)=

i,j

x_i y_jP (H_i)P

(G_j)=

x_i P

(H_i)

y_jP (G_j)=E xE h.

Тези свойства на математическото очакване и особено неговата монотонност позволяват то лесно да се разпространи за произволни неотрицателни сл.в. Може обаче да се окаже, че то е безкрайно.

Математическото очакване на непрекъснатата сл.в. x се пресмята като интеграла: E x = т x f(x) dx, а това на дискретна като сумата E x = S_i x_i p_i, когато това е възможно. Тези две формули могат да се обединят в една с помощта на интеграла на Лебег-Стилтес: E x = т x dF(x). Той съществува (и е краен), когато е краен интегралът E x = т |x| dF(x)<Ґ.

Определение 5.2 Момент от ред k на сл.в.x наричаме следната числова величина (когато съществува): обикновен - E x^k , абсолютен - E |x|^k , централен - E (x-E x)^k .

5.2 Числови характеристики.

Локация

М.о. е най - важната характеристика за положението на стойностите на сл.в. върху числовата ос. За съжаление, както видяхме, тя е определена не за всички сл.в..

Определение 5.3 Медиана се определя като решение на уравнението: F(µ)=1/2.

Тя описва положението на средата на разпределението върху числовата ос. Когато решението не е единствено, се взима средата на интервала от решения. В много случаи се използува и положението на други характерни точки от разпределението.

Определение 5.4 Квантил с ниво a на дадено разпределение F се определя като решение на уравнението:

F(q

)=a.

В статистиката квантилите на вероятности кратни на 1/4 се наричат квартили, тези - на 1/10 - децили, а на 1/100 - процентили. Така µ = q_1/2 е втори квартил, пети децил, петдесети процентил.

Определение 5.5 Мода се определя като най - вероятното число за дискретни сл.в., а за непрекъснати ---като координатата на максимума на плътността.

Естествено, разпределенията могат и да не притежават единствена мода. За симетрични разпределения, очевидно трите характеристики: мода (ако има такава), медиана и м.о. съвпадат.

Мащаб

Определение 5.6 Дисперсия на сл.в. x се определя като числото D x=E (x-E x)². Дисперсията може да се окаже и безкрайна.

Дисперсията е най - важната характеристика на разсейване на стойностите на сл.в. За дискретни и непрекъснати разпределения тя се пресмята по формулите:

x =

у
х (x-E x)² f(x) dx, D

x =

(x_i-E x )² p_i. (5.1)

Фактически вместо дисперсията, както в числовите, така и в аналитичните сметки, се използува стандартно отклонение. Това е:

s(x)=( D x )^1/2 =(E (x -E x )²)^1/2. (5.2)

Тази характеристика се мери в същите физически единици, като x и може да бъде съответно интерпретирана. Тук са показани плътности от нормалното семейство с различни стандартни отклонения.

Фигура 5.1: Различни дисперсии

Колкото по - малка е дисперсията или стандартното отклонение, толкова по - сгъстени са стойностите и по - вероятни са те в центъра на разпределението. За това, когато искаме да се отървем от размерността, например за да сравним разпределенията на две различни сл.в., прилагаме т.н. центриране и нормиране. Вместо величината x разглеждаме центрираната и нормирана величина

x - E x

s(x)

. (5.3)

Когато дисперсията е безкрайна за ''определяне'' на мащаба се използува т.н. интерквартилен размах.

Определение 5.7 Наричаме интерквартилен размах r разликата между третия и първия квартили: r = q_3/4 - q_1/4.

Форма

Следните две характеристики на разпределенията не зависят от мерните единици, с които са отчитани съответните сл.в., както и от условните начала на скалите. С други думи, те са безразмерни. Те отразяват различията във формата на разпределенията, но не зависят от мащаба и локацията.

Определение 5.8 Ще наричаме асиметрия на x числото (когато съществува):

Ass(x)=

E (x-E x)³

s³(x)

= E

³. (5.4)

На тази фигура е дадено сравнение на положително асиметрична плътност с плътността на стандартния нормален закон, която е симетрична и има асиметрия 0. Положителната асиметрия се характеризира с ''по - тежка'' дясна опашка на разпределението.

Фигура 5.2: Положителна асиметрия

При асиметричните разпределения се променят обикновено и взаимните положения на модата, медианата и математическото очакване. За разпределения с положителна асиметрия те се нареждат в посочения ред, а за тези с отрицателна --- в обратния. Това правило, разбира се, е верно само за унимодални разпределения с проста аналитична форма на плътността. Вижте също семейството на Бета - разпределенията 11.3.

Определение 5.9 Ще наричаме ексцес на x числото (когато съществува):

Ex(x)=

E (x-E x)⁴

s⁴(x)

-3=E

⁴ - 3. (5.5)

Тук е представено разпределение с положителен ексцес. То има по - дълги и тежки опашки от нормалното (с ексцес 0). Разпределенията с отрицателен ексцес може изобщо да нямат опашки --- например, такова е равномерното в краен интервал.

Фигура 5.3: Положителен ексцес

Изобщо казано, двата параметъра асиметрия и ексцес дават достатъчно пълна картина за формата на разпределението, когато то е унимодално и гладко. Всъщност такива разпределения обикновено принадлежат на семейство, описвано с няколко параметъра.

Особено място сред тези фамилии заема двупараметричната фамилия на нормалните разпределения (вж. определение 7.1), с която скоро ще се запознаем. За всички нормални разпределения и асиметрията и ексцеса са равни на 0. Така тези две характеристики за форма придобиват смисъл на характеристики за отклонение от нормалността.

5.3 Неравенства

Ще започнем с някои прости свойства на дисперсията.

		D x і 0;	(5.6)
D x = 0	Ы	P (x = const)=0;	(5.7)
D x=	E x² - (E x)²;		(5.8)
D ax=a²D x;	D (x+c)=Dx
D (x+h)=Dx + Dh,	ако	x^h.

Доказателство:

(x-E x)²і 0 Ю D x=E (x-E x)²і0
Следва от неравенството на Чебишов.
E (x-E x)²= E x² - 2E xE x+ (E x)².
D (x+h)=D x + 2E (x-E x)(h-E h)+D h.

Неравенство на Чебишов

Следното знаменито неравенство се използува много често. За всички r > 0 и e>0 е в сила неравенството:

P (|x| > e) <

E |x|^r

e^r

(5.9)

Доказателство: Да означим с I_A сл.в. (индикатор на събитието A)

E |x|^r= E

|x|^rI

|x| > e

+ E

|x|^rI

|x| Ј e

і e^r E

|x| > e

= e^r P (|x| > e).

От това неравенство следва Ю на твърдение (5.7):

0=P (|x-E x|>1/n)Ю P (x=E x)=1.

Неравенства за моментите

От уравненията (5.6) и (5.8) веднага следва следното неравенство за моментите:

(E x)² Ј E x², (5.10)

което е частен случай на по - общото:

(E |x|^r)^1/r Ј (E |x|^k)^1/k, при всички r < k. (5.11)

От това неравенство следва, че ако съществува (т.е. е краен) моментът от ред k на една сл.в., то съществуват моментите от всеки ред r<k.

5.4 ^*Линейни пространства сл.в.

М.о. може, разбира се, да се определи и абстрактно. Всяка неотрицателна сл.в. x⁺ може да се представи като граница на монотонно нарастваща редица от прости сл.в. x⁺=lim_n x_n= x_n. Следователно, винаги съществува границата E x=lim E x_n, възможно равна на Ґ . Всяка сл.в. x може да се представи като сума x=x⁺ + x^-. Така, ако и двете м.о. са крайни, можем спокойно да определим E x=E x⁺ + E x^-.

Класовете еквивалентни с вероятност 1 сл.в. (к.е.сл.в.), зададени на дадено фиксирано вероятностно пространство (W, A,P ) образуват линейно пространство. Нека го означим с M= M(W, A,P ). Да разгледаме подмножествата L^rМ M, (1Ј r ЈҐ) от сл.в. с краен r-ти абсолютен момент. Тъй като в тях работи същото отношение на еквивалентност, к.е.сл.в. от съответните множества образуват пълни линейни нормирани пространства, ако за норма във всяко от тях служи: || x ||_r = (E |x|^r)^1/r. При това е от неравенството (5.11) следва включването:

М L^rМ L^pМ L¹М M, 1<p<r<Ґ.

Особен интерес представлява пространството L² от сл.в. с крайна дисперсия. То е Хилбертово и скаларното произведение в него е (x,h)=E xh . Така центрираните сл.в., ако са независими, са ортогонални в L² . Обратното твърдение не винаги е верно.

Нека FМ A и разделянето, което й съответствува е g. Да разгледаме подмножеството на L² от сл.в., такива, че A_xМ F. Те очевидно образуват линейно подпространство на L². Проекторът върху това подпространство да означим с E _g. Ще го наричаме условно м.о. при условие разделянето g, или s-алгебрата, която му съответствува. В частност, ако означим с e разделянето, което съответствува на A и n={

,W}, то E _e= I, E _n= E . Условното м.о. на всяка сл.в. x при условие крайното разделяне g е проста сл.в. с константни стойности върху елементите му. Условните м.о. удовлетворяват всички свойства на ортогоналните проектори в Хилбертово пространство. Ако g^d, то E _g и E _d комутират.

Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002