x = |
|
Теорема 7.1 (Локална теорема на Муавър-Лаплас)
Нека p,x са фиксирани. Нека n Ґ Нека означим
sn2 = n p q , kn = n p + sn x. Тогава равномерно в
интервала -Ґ<a<x<b<Ґ е изпълнено съотношението:
sn b(n,kn,p) ѕ® f(x) |
||
Фигура 7.2: Нормална апроксимация на биномно разпределение | ||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
= (1+ |
|
- |
|
). |
|
ln |
|
= |
|
lns + O( |
|
). |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
P (b< |
|
< a) = |
|
b(n,k,p) |
|
у х |
|
f(y) dy. |
у х |
|
f(y) dy= P (-x< |
|
< x) = P (| |
|
-p|<x (pq/n)1/2). |
0.95 Ј P (| |
|
-p|< |
|
). |
t2=x-n-nlg |
|
=n (z-lg(1+z)), z= |
|
lg(1+z) = z - |
|
|
, |
t2= |
|
|
, t =( |
|
)1/2 |
|
, z-1+q(z)=( |
|
)1/2t-1. (7.8) |
t |
|
= t+ |
|
= ( |
|
)1/2 + t(1- q(z)). (7.9) |
n!=(2p n)1/2 nn e-n( 1+ en), en < |
|
. |
ln(1+x)=x- |
|
+ |
|
-... (-1)n-1 |
|
... (7.11) |
ln( |
|
)= ln(1+x)- ln(1-x)= 2x(1+ |
|
+ |
|
+ ... |
|
... ) (7.12) |
(n + |
|
)ln (1+ |
|
)= 1+ |
|
+ |
|
+ ... |
|
... (7.13) |
1<(n + |
|
)ln (1+ |
|
)Ј 1+ |
|
(1+ (2n+1)-2+...)= 1 + |
|
. (7.14) |
1<e-1(1+ |
|
)n+1/2<e |
|
(7.15) |
|
=e-1(1+ |
|
)n+1/2 (7.16) |
1 < |
|
< e1/12n(n+1)= |
|
n! = a nn+1/2 e-n e |
|
(7.17) |