МАТЕМАТИЧЕСКО МОДЕЛИРАНЕ

Лектор: проф. дмн Константин Марков

Едносеместриален курс (3+0), задължителен за специалност "Приложна математика" (2-ти курс), изборен за специалностите "Информатика", "Математика" (2-ри и 3-ти курс) и "Математика и Информатика" (2-ри, 3-ти и 4-ти курс). Понеделник 13 - 16 ч. зала  200 ФМИ-СУ

Анотация. На базата на факти и наблюдения за природно явление, математичното моделиране има за цел изграждането на адекватна (до колкото е възможно) обща схема, която да обясни наблюденията и да предскаже нови. Схемата най-общо включва отделянето на характерните зависими и независими променливи и формулирането на математическите съотношения между тях: алгебрични, диференциални, интегрални и т.н. Формулираните съотношения се изследват с апарата на алгебрата, анализа, теорията на диференциалните уравнения и пр., и пр. Получените резултати се сравняват с измерените и наблюдаваните, което води до потвърждаване на модела или до негово уточняване. Целта на курса е илюстрирането на тези общи идеи на математичното моделиране върху примери от биологията (популационна динамика, епидемии, химически реакции и др.), статиката, механиката на еластичните, вискозните и вискозоеластичните материали.

Пълният текст на лекциите ще може да се свали (в Acrobat PDF формат) от страницата на лектора http://www.fmi.uni-sofia.bg/fmi/contmech/kmarkov

Съдържание на курса (зимен семестър 2001)

Гл. 1. Предмет на математическото моделиране. Анализ на размерностите

1. Дефиниране, идеология и класификация на математическите модели.
2. Теория на размерностите. П-теорема. Примери.

Гл. 2. Елементарни модели (моделиране с помощта на обикновени диференциални уравнения)

3. Закон на Малтус и различните му интерпретации. Радиационен разпад (Libby).
4. Охлаждане на телата. Разпространение на заразни болести и др. елементарни модели. Даниил Бернули.
5. Лимитирани популации
6. Популация в обкръжение на хищници
7. Два вида, "борещи" се за обща храна
8. Най-прост модел "хищник-жертва" - уравнения на Лотка-Волтера.

Гл. 3. Статика

9. Определения и аксиоми на статиката
10. Най-прости системи сили
11. Теория на двоиците
12. Свеждане на произволна система сили към сила и двоица. Условие за равновесие на система сили
13. Равновесие на нишка. Верижна линия. Галилей

Гл. 4. Най-прости модели на деформируеми тела

14. Модел на еластично тяло
15. Най-прости приложения на закона на Хук
16. Надлъжни трептения на еластичен прът - вълново уравнение. Решение на Даламбер
17. Модел на вискозна течност
18. Понятие за вискозо-еластични модели. Тела на Максуел, Фойхт и Келвин
19. "Наследственост" на телата. Принцип на суперпозицията на Болцман

Препоръчителна литература към курса:

1.      N. Bellomo and L. Preziosi, Modelling, Mathematical Methods, and Scientific Computation, CRC Press, 1995 .

2.      Л. И. Седов, Методы размерности и подобия в механике, Москва, "Наука'', 1981, изд. девятое.

3.      J. David Logan, Applied Mathematics. A Conterporary Approach. John Willey, 1987, 572 pp.

4.      W. E. Boyce, R. C. DiPrima. Elementary differential equations and boundary value problems. 6th ed. Wiley, 1998.

5.      Mathematical Modelling eds. J.G. Anderson & R.R. McLone, Butterworths, London, 1976.

6.      M. Reiner, Rheology, In: Encyclopedia of Physics, D. Flugge, ed., vol. VI, Springer-Verlag, Berlin-Gotingen-Heidelberg, 1958, p. 434-550.

7.      V. Volterra, Lecons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie, Gauthier-Villard, Paris, 1931. (руски превод: Москва, "Наука,'' 1976).

София, 1 октомври 2001 г.