Задача:
В n-мерно
Евклидово пространство E
са
дадени два единични ортогонални
|
вектора a
и b
, т.е. |a|=1,
|b|=1
и (a,b)=0
и изображение
|
|
, което е
|
определено
по следния начин:
|
|
за всеки вектор
|
|
.
|
Да се
|
докаже,
че
|
![](images/fi.gif) |
е симетричен
оператор в E
и че |
|
.
|
Решение:
![](_themes/my-postmodern/posbul1a.gif) | Ще докажем, че |
|
![](images/fi.gif) |
е симетричен оператор: |
![](_themes/blocks/blobul2e.gif) |
Първо
-че оператора е линеен |
|
![](images/izraz13.gif) |
|
![](images/izraz14.gif) |
|
Първото
равенство е в сила, защото скаларното
произведение в линейно по всеки
множител. |
|
![](images/izraz15.gif) |
|
![](images/izraz16.gif) |
|
|
|
|
![](images/izraz17.gif) |
|
|
|
|
Операторът е линеен. |
|
|
|
![](_themes/blocks/blobul2e.gif) |
След
това - условието за
симетричност. |
|
![](images/sim_opr.gif) |
: |
|
|
|
![](images/izraz18.gif) |
|
|
Използваме, че
скаларните произведения като |
![](images/izraz19.gif) |
са числа и |
|
|
затова ги
изнасяме като множители пред
произведенията. |
От горните две точки следва, че |
![](images/fi.gif) |
е симетричен оператор. |
![](_themes/my-postmodern/posbul1a.gif) | Да докажем, че |
|
|
: |
|
![](images/izraz25.gif) |
По този начин получихме, че |
|
. |
![](_private/up.gif)
|