за проекта за темата   за автора    e-mail

симетричен оператор - свойства симетрични матрици собствени вектори канонизация

Задача 1

 

Задача:

В n-мерно Евклидово пространство E са дадени два единични  ортогонални 

 вектора a и b , т.е. |a|=1,  |b|=1 и (a,b)=0 и изображение

, което  е 

определено по следния начин: 

за всеки вектор

. 

Да се

докаже, че  

е симетричен оператор в E и че

.

 Решение:

Ще докажем, че
 е симетричен оператор:
Първо -че оператора е линеен
Първото равенство е в сила, защото скаларното произведение в линейно по всеки множител.
Операторът е линеен.
След това - условието за симетричност.
:
Използваме, че скаларните произведения като са числа и
 затова ги изнасяме като множители пред произведенията.
От горните две точки следва, че е симетричен оператор.
Да докажем, че 
 :

Пресмятаме
и
;
Пресмятаме
 

Пресмятаме
 
По този начин получихме, че   .