за проекта
за темата
за
автора
e-mail
симетричен оператор - свойства
симетрични матрици
собствени вектори
канонизация
![]() |
|
Определение за симетричен оператор |
Линейният
оператор φ:E→E, действащ в Евклидово пространство E,
се нарича симетричен, ако за всеки два
елемента x,y![]() |
![]() |
Пример: Във всяко Евклидово пространство нулевия и тъждествения оператор са тривиални примери на симетричен оператор . |
Свойство : |
Нека φ и ψ са симетрични оператори в евклидово пространство E, тогава φ+ψ и |
α.φ също са симетрични оператори за произволно реално число α. |
Доказателство: |
![]() |
![]() |
Това свойство ни задава, че множеството на всички симетрични оператори образува линейно подпространство на пространството от всички линейни оператори в едно Евклидово пространство. |
Пример: В едномерно Евклидово пространство всеки линеен оператор може да се получи чрез умножаване на число по тъждествения оператор и следователно всеки линеен оператор в едномерно пространство е симетричен. |
Задача: |
|
![]() |
В n-мерно
Евклидово пространство E
са
дадени два единични и
ортогонални вектори
a
и b
,
т.е. |a|=1,
|b|=1
и (a,b)=0
и изображението φ:E→E,
което е
определено по следния
начин : φ(x)=(a,x).b+(b,x).a
за произволен вектор
x![]() |
Решение..... |
Задача за упражнение: |
|
![]() |
Нека φи ψ са симетрични оператори действащи в евклидово пространство E. Да се докаже, че φ◦ψ+ψ◦φ е симетричен оператор. |
Теорема 1: |
Нека E е крайномерно евклидово пространство и φ е симетричен оператор в E. Тогава φ има симетрична матрица в кой да е ортонормиран базис на E . |
Доказателство: |
Нека | ![]() |
е един ортонормиран базис на E | ![]() |
![]() |
, и нека φима |
матрица | ![]() |
в този базис. | ![]() |
![]() |
. |
![]() |
и | ![]() |
. |
Тъй като φе симетричен, то | ![]() |
. Така получаваме, че | ![]() |
за |
произволни индекси | ![]() |
, т.е. A | е симетрична матрица. |
Теорема 2 |
|||
Нека E е крайномерно Евклидово пространство и | ![]() |
е ортонормиран базис |
в E . Ако един линеен оператор |
![]() |
има симетрична матрица в | ![]() |
, то |
оператора е симетричен. |
Доказателство: |
|||||
Нека | ![]() |
и | ![]() |
са два произволни вектори от E и | ![]() |
е матрицата на | ![]() |
в базиса | ![]() |
, тогава: |
|
Пресмятаме | ![]() |
и | ![]() |
|
|
A е симетрична матрица | ![]() |
![]() |
откъдето получаваме че | ![]() |
![]() |
Горните две
теореми могат да се обединят в една по
следния начен:
|
Пример: Спрямо стандаретен ортонормиран базис на двумерното Евклидово пространство са дадени | |||||
векторите a=(1,1) и b=(1,2). Спрямо базиса a, b линейния оператор | ![]() |
има матрица | ![]() |
. | |
Виждаме, че | ![]() |
. | Аналогично | ![]() |
|
и операторът не е симетричен въпреки, че има симетрична матрица в един базис, който не е | |||||
ортонормиран. |