за проекта
за темата
за
автора
e-mail
симетричен оператор - свойства
симетрични матрици
собствени вектори
канонизация
![]() |
В тази страница е
изложено:
|
Характеристичните корени на симетрична матрица с реални елементи са реални числа.
![]() | Нека матрицата е A квадратна от ред
n,
тогава нейният характеристичен полином ![]() |
![]() | Нека λ1 е един корен на този полином и той в общия случай е комплексно число.Щом λ1 е корен, следователно матрицата A-λ1.E има детерминанта 0. Това означава,че хомогенната система с матрица A-λ1.E има ненулево решение, но |
|
||
|
![]() |
има ненулево решение. |
![]() | Нека (α1,...,αn)
е едно ненулево
решение на тази система. Тъй като
коефициентите на системата са комплексни
числа, то и това решение в общия случай е
комплексно.
|
(1) | ![]() |
![]() | Транспонираме равенство (1) и получаваме |
(2) | ![]() |
![]() | Вземаме комплексното спегнато на всички елементи от равенство (1) и получаваме: |
(3) | ![]() |
използвали
сме, че матрицата A
e с реални елементи и |
![]() | Векторът (α1,...,αn) е ненулев и е изпълнено: |
|
![]() | Левите страни на равенствата (2) и (3) съвпадат, следователно съвпадат и десните им страни: |
Откъдето получихме, че
характеристичния корен λ1
е
реално число и теоремата е доказана.
Да си припомним основните свойства на спрягането на комплексни числа, които бяха използвани в доказателството на горната теорема:
![]() |
Комплексното спрегнато на | ![]() |
е числото | ![]() |
. | |||||||||
Основните свойства на комплексното спрягане са следните: | ||||||||||||||
|