Тема 8
Разпределение на случаен процес

В тази лекция разглеждаме естественото вероятностно пространство, което съответства на даден процес. То, в общия случай, е '' безкрайномерно'' и вероятностната мярка в него се поражда от крайномерните разпределения на процеса. Чрез теоремата на Колмогоров за съгласуваните разпределения се получава обща схема за доказване на съществуването на случайни процеси.

Въвежда се понятието абсолютна непрекъснатост на (вероятностни) мерки. Като следствие се разглежда абсоютна непрекъснатост на процеси.

8.1  Построяване на случаен процес

I. Безкрайномерни разпределения

Даден е случайният процес {xt,t О T}, за T Н R . Ще построим едно измеримо пространство, т.е. множество от елементарни събития със s-алгебра от негови подмножества.

Нека [(W)\tilde] = R T = {w:T® R } е множеството от всички функции f:T® R .

Определение 1 Нека B О B( R n) е произволно борелово подмножество на R n. Казваме, че множеството

C(t1,ј,tn;B) = {w О R T : (w(t1),ј,w(tn)) О B}
е цилиндрично с основа B.

Лесно се вижда, че:

1. Крайно сечение на цилиндрични множества е цилиндрично.

2. Крайно обединение на цилиндрични множества е цилиндрично.

Следователно класът на цилиндричните множества и техните допълнения в [(W)\tilde] образува булова алгебра. Тогава определяме буловата s-алгебра B( R T) като минималната s- алгебра, съдържаща всички цилиндрични множества.

Така е определено едно измеримо пространство < R T, B( R T) > , в което (както по нататък ще видим) благодарение на теоремата на Колмогоров може да се дефинира разпределение Prx. За това разпределение е изпълнено:


Pr
x 
 (C) = Pr
{(xt1,ј,xtn) О B},
за всяко цилиндрично множество C = C(t1,ј,tn;B), B О B( R n).

II. Съгласувани семейства от разпределения

Определение 2 За случайният процес {xt,t О T} разпределенията

Ft1,ј,tn(x1,ј,xn) = Pr
{xt1 Ј x1,ј,xtn Ј xn},
се наричат крайномерни разпределения на процеса.

За крайномерните разпределеня са очевидни следните свойства:

Ft1,ј,tn(x1,ј,xn) = Fts(1),ј,ts(n)(xs(1),ј,xs(n)),
(8.1)
където s е произволна пермутация на {1,ј,n}.

Ft1,ј,tn,tn+1(x1,ј,xn,Ґ) = Ft1,ј,tn(x1,ј,xn)
(8.2)

Определение 3 Произволно семейство от многомерни разпределения {Ft1,ј,tn(x1,ј,xn),ti О T}, което удовледворява условията (8.1) и (8.2) се нарича съгласувано, а условията - условия за съгласуваност.

Теорема 1 [Колмогоров] Нека е дадено съгласуваното семейство от разпределения {Ft1,ј,tn(x1,ј,xn),ti О T}, където T Н R . Тогава в измеримото пространство < R T, B( R T) > съществува единствена вероятностна мярка PrF, за която:


Pr
F 
 (C(t1,ј,tn;B)) = Ft1,ј,tn(B), за произволно
цилиндрично множество C = C(t1,ј,tn;B) с основа B.

Това означава, че действието на едно ''безкрайномерно'' вероятностно разпределение в < R T, B( R T) > се определя от действието му върху ''крайномерните'' цилиндрични множества.

Когато имаме даден случаен процес, то естествено възниква семейството от крайномерни разпределения. Тези разпределения, според горната теорема пораждат единствено вероятностно разпределение Prx, в < R T, B( R T) > , за което


Pr
x 
 ({w О R T:(w(t1),ј,w(tn)) О B}) = Pr
{(xt1,ј,xtn) О B}, B О B( R n).
Разпределението Prx се интерпретира като мярка върху траекториите на процеса {xt,t О T}, които са елементи на [(W)\tilde] = R T. Естествено е да поискаме Prx върху цилиндричните множества да се определя чрез крайномерните разпределения на процеса, а теоремата на Колмогоров показва, че това е достатъчно за да се определи мярката Prx върху всички B( R T)-измерими множества от траектории.

В този смисъл Prx представлява разпределението на процеса {xt,t О T} в пространството от траектории < R T, B( R T) > .

III. Съществуване на случаен процес

Нека сега е дадено произволно съгласувано семейство от многомерни разпределения {Ft1,ј,tn(x1,ј,xn),ti О T}. Ще построим стохастичен процес {xt,t О T} с крайномерни разпределения

Pr
{xt1 Ј x1,ј, xtn Ј xn} = Ft1,ј,tn(x1,ј,xn).
Разглеждаме измеримото пространство < R T, B( R T) > . По теоремата на Колмогоров (8.1) следва, че съществува единствена вероятностна мярка PrF, такава че

Pr
F 
 (C) = Ft1,ј,tn(B), където
C = C(t1,ј,tn;B) = {w: (w(t1,ј,w(tn)) О B)}.

Нека за произволно елементарно събитие w О R T

xt(w) def
=
 
 w(t).
Ще покажем, че {xt,t О T} е търсения случаен процес.

1. xt е случайна величина, т.к. цилиндричните множества са измерими, а {xt О B} = C(t;B) за B О B( R ).

2. тъй като {xt1 Ј x1,ј,xtn Ј xn} = {w(t1) Ј x1,ј,w(tn) Ј xn} за крайномерните разпределения получаваме


Pr
F 
 {xt1 Ј x1,ј,xtn Ј xn} = Ft1,ј,tn(x1,ј,xn),
с което всичко е доказано.

Задача 1. по-долу показва, че s-алгебрата B( R T) не е достатъчно богата т.е. някои интересни множества са неизмерими.
Примери
Даден е процесът {xt,t О R }. Множеството

Ct0 = {w:xt(w) е непрекъсната в t0 }
не може да се провери дали е измеримо или не(в случай, че няма предварителни ограничения за траекториите на процеса). Наистина според задача 1., ако Ct0 е измеримо, то трябва да се определя от изброимо много цилиндрични множества (зависещи от координати t1,t2,ј,tn,ј), докато непрекъснатостта в t0 не може да се определи от поведението на една изброима редица.

Аналогично за множествата {w:xt(w) е диференцируема в t0} и {w: supt О R xt(w) < C} не може да се каже, в общия случай, дали са измерими.

Решение на този проблем дава понятието сепарабелност (6.1) и теоремата (6.1) на Дуб. [¯]

Задачи
1. Нека T = R разглеждаме измеримото пространство < R T, B( R T) > . Докажете, че за всяко B О B( R T) съществува изброима съвкупност от цилиндрични множества C1, C2, ј, така че

B = \mathopИi = 1Ґ Ciai, където ai О {0,1} и Ciai = м
п
п
н
п
п
о
Ci,
за ai = 1
Ci
 
 ,
за ai = 0

2. С помощта на предишната задача изведете теоремата на Колмогоров за ''неизброимо'' време - Теорема (8.1) чрез теоремата на Колмогоров в ''изброимо-мерния'' случай чрез - Теорема (1.1).
3. Нека R(s,t), t,s О R е симетрична, неотрицателно определена реална функция и m(t) е друга произволна реална функция. Чрез теоремата на Колмогоров постройте гаусов процес {xt, t О R } с очакване m(t) и ковариационна функция R(s,t).
Упътване: Задачата може да се реши чрез директно проверяване на условията за съгласуваност на Колмогоров.

Теоремата на Колмогоров може да се преформулира за крайномерни характеристични функции, тогава условията за съгласуваност са:

Ft1,ј,tn(l1,ј,ln) е характеристична функция
(8.3)
и
Ft1,ј,tn,tn+1(l1,ј,ln,0) = Ft1,ј,tn(l1,ј,ln).
(8.4)
Така задачата може да се реши без изчисления:

Характеристичната функция на многомерно нормален вектор с очакване [`(a)] и ковариационна матрица C има вида

jx(
l
 
 ) = E exp{i <
l
 
 ,x > } = exp{ i <
l
 
 , _
a
 
 > - 1
2
 < C
l
 
 ,
l
 
 > },
като ако разпределението е изродено върху някоя хиперравнина същата формула остава в сила (вж. [4]).
4*. Докажете, че за всяко a О (0,2] функцията
A(s,t) = 1
2
 ( |s|a + |t|a - |t-s|a )
е неотрицателно определена.
Упътване: Използвайте, че за c > 0 и a О (0,2] функцията e-c|l|a е характеристична и следователно по теоремата на Бохнер е неотрицателно определена. Тогава за произволни u1,ј,un и t1,ј,tn, ако означим t0 = 0 и u0 = -u1-ј-un, то
n
е
i,j = 0 
 exp{-c|ti-tj|a}ui
uj
 
 = n
е
i,j = 0 
 (exp{-c|ti-tj|a}-1)ui
uj
 
 і 0.
След като вземем предвид апроксимацията e-c x-1 » -c x + o(c) и заместим t0 и u0 получаваме
c n
е
i,j = 1 
 |ti|a+|tj|a-|ti-tj|a+o(c) і 0.
5* Гаусовият процес {Bt,t О R +} се нарича H-самоподобен, ако за всяко c > 0
{Bc t,t О t О R +} d
=
 
 {cH Bt,t О R +} където H > 0.
Нека {Bt,t О R +} е гаусов H-самоподобен със строго стационарни нараствания, т.е. {Bt+h-Bt,t О R +} е строго стационарен. Такъв процес се нарича фрактално брауново движение.

С помощта на предишната задача покажете, че за 0 < H Ј 1 съществува фрактално брауново движение и неговата ковариационна функция е

R(s,t) = D B1
2
 ( |s|2H+|t|2H-|t-s|2H ).
[¯]

8.2   Абсолютна непрекъснатост на мерки

Дадено е измеримото пространство < W, F > .

Определение 4 Множествената функция m: F ® (-Ґ,+Ґ) се нарича положителна крайна мярка, ако:

1. е s-адитивна

m(A1+A2+ј) = m(A1)+m(A2)+ј, за взаимно непресичащи се{Ai,i О N }

2. положителна

m(A) і 0, за всяко A О F

3. крайна

m(W) < Ґ.

Ако вместо условието за крайност m(W) = Ґ, но съществува изчерпваща W редица от множества Ci, (W = Ґ
( е)
i = 1 
Ci), така че m(Ci) < Ґ, то m се нарича s-крайна.

Ако m удовлетвоява само 1. и 2., а огранчения за крайност няма, то тя се нарича просто положителна мярка.

Определение 5 Ако множествената функция m: F ® (-Ґ,+Ґ] е s-адитивна и ако

m+(A) =
sup
B Н A  
 m(B) и
m-(A) = -
inf
B Н A 
 m(B)
са крайни положителни множествени функции, то m се нарича знакопроменлива, крайна мярка.

Ако само m- е крайна, а m+ е s-крайна, то m се нарича s-крайна мярка.

Когато върху m няма други ограничения освен s-адитивност, и това че приема стойности в (-Ґ,+Ґ] тогава тя се нарича просто мярка.

m+(·) и m-(·) се наричат положителна и отрицателна част на m(·). Те са положителни мерки (вж. Задачите).

|m| = m+(W) + m-(W) се нарича пълна вариация на мярката m(·).

Разликата на две вероятностни мерки е крайна знакопроменлива мярка. Представянето на мерките върху < R , B( R ) > чрез плътности (относно мярката на Лебег) онагледява следващото понятие.

Определение 6 [ Носител на мярка] Нека m(·) е s-крайна знакопроменлива мярка в < W, F > . Ако съществува множество D+ О F , такова че

m(AЗD+) = m+(A), за всяко A О F и
m(AЗ
D+
 
 ) = m-(A), за всяко A О F ,
то D+ се нарича положителен носител на мярката m.

Ако разгледаме разликата на две вероятностни мерки с плътности върху R , то положителния носител на получената мярка е носителя на положителната част на разликата от плътностите.

Теорема 2 [ Жордан-Хан] Нека m е мярка върху < W, F > , тогава
1. m+ и m- са положителни мерки;
2. m- е крайна и m = m+ - m-
3. съществува положителен носител на m (вж. 8.6) D+, така че:
а) m(A) і 0 за всяко A Н D+
б) m(A) Ј 0 за всяко A Н [`(D+)]
m+(A) = m(AЗD+) и m-(A) = m(AЗ[`(D+)])

Доказателството е изложено в допълнението вж. (12.1).

Определение 7 Дадени са две знакопроменливи крайни мерки m и n в измеримото пространство < W, F > . Казваме, че m е абсолютно непрекъсната относно n, (пишем m\prec n) ако

за всяко A О F n(A) = 0 влече m(A) = 0.

Теорема 3 [ Радон-Никодим ] Нека в измеримото пространство < W, F > са дадени s-адитивните мерки m и n, като m е абсолютно непрекъсната относно n. Тогава съществува единствена (с точност до n - нулево множество) измерима функция f:W ® W, такава че

m(A) =
у
х
A 
 f(w) n(dw), за всяко измеримо A.
Функцията f се нарича производна на Радон-Никодим на m относно n, f = d m/ d n.

Понятието абсолютна непрекъснатост на мерки се прилага за стохастичните процеси.

Определение 8 Дадени са процесите {xt,t О T} {ht,t О T}, с обща 'времева скала' T. Казваме, че x е абсолютно непрекъснат относно h, ако Prx \prec Prh, където Prx и Prh са мерките породени от x и h, съответно, в пространството от 'траектории' < R T, B( R T) > .

Определение 9 Когато за мерките m и n имаме

m\precn и също n\precm,
то казваме, че m и n са взаимно абсолютно непрекъснати, пишем
m ~ n.

Когато за мерките m и n имаме, че съществува Nm О F , - m-нулево множество, така че n([`(Nm)]) = 0, то казваме, че m и n са сингулярни, пишем

m^n.

Теорема 4 [На Лебег за разлагането] Дадени са s-крайните мерки m и n. Съществува единствено разлагане на мярката m на сума от две s-крайни мерки

m = m1+m2,
такива че m1\precn, а m2^n.

m1 и m2 се наричат съответно абсолютно непрекъсната и сингулярна части (относно n) на m.

За доказателствата на теореми (8.3) и (8.4) вж. Допълнението. За подробно изложение на теория на мярката вж. [8].

Теорема 5 Дадени са процесите {xt,t О T} {ht,t О T}, с обща времева скала T. Дадено е, че съществува вероятностна мярка m в < R T, B( R T) > , такава че Prx и Prh са абсолютно непрекъснати относно m и имат производни на Радон-Никодим mx = [(d Prx)/( dm)] и mh = [(d Prh)/( dm)]. Тогава

1. Prh \prec Prx, тогава и само тогава, когато


Pr
h 
 ({mx > 0}) = 1.

2. Prx ^Prh, тогава и само тогава, когато


Pr
h 
 ({mx > 0}) = 0.

Доказателство.

1. Имаме, че Prx(A) = Prx(AЗ{mx > 0}), тъй като


Pr
x 
 (A) =
у
х
A 
 mx(w) m(d w) =
у
х
AЗ{mx > 0} 
 mx(w) m(d w) =
Pr
x 
 (AЗ{mx > 0}).

Тогава, ако Pr{mx > 0} = 1 и Prx(A) = 0, то


Pr
h 
 (A) =
Pr
h 
 (AЗ{mx > 0})+
Pr
h 
 (AЗ
{mx > 0}
 
 ) =
Pr
h 
 (AЗ{mx > 0}).
Prh(AЗ{mx > 0}) =
( т)
AЗ{mx > 0} 
[(mh)/( mx )]mx d m, но [(mh)/( mx )] і 0 е борелова функция, за която (т.к. mx > 0) може да се намери стъпаловидна функция g, която я мажорира. Тогава 0 Ј ( т)
[(mh)/( mx )] dm Ј ( т)
g dm, но за всяко измеримо B М AЗ{mx > 0}
( т)
AЗ{mx > 0} 
1B mx dm = 0, откъдето тg dm = 0 и следователно Prm(A) = 0.

Обратно, ако Prh \precPrx да допуснем, че Prh({mx > 0}) < 1, тогава


Pr
h 
 (
{mx > 0}
 
 ) > 0 и тъй като
Pr
x 
 (
{mx > 0}
 
 ) = 0
стигаме до противоречие.

2. се доказва аналогично. [¯]

Производната на Радон-Никодим има следното естествено свойство.

Твърдение 1 Нека m и n са взаимно абсолютно непрекъснати вероятностни мерки в измеримото пространство < W, F > и g1 = d m/ d n, g2 = d n/ d m. Тогава

g1 g2 = 1 m-почти сигурно (еквивалентно n-почти сигурно).

Доказателство.
Достатъчно е да покажем, че за всяко A О F


у
х
A 
 1 dm =
у
х
A 
 g1 g2 dm.
За целта ще покажем, че ако h і 0 е измерима, то
у
х
h g2 d m =
у
х
h d n.
(8.5)
Наистина за произволно измеримо B

у
х
B 
 g2 d m = n(B)
откъдето от свойството линейност на интеграла получаваме (8.5) за стъпаловидни h і 0. Чрез граничен преход веднага следва (8.5) за произволни измерими и неотрицателни функции h.

Тогава


у
х
A 
 g1 g2 dm =
у
х
A 
 g1 dn = m(A),
което и трябваше да се докаже. [¯]

8.3  Абсолютна непрекъснатост на процеси

Дадени са случайните процеси {xt,t О [0,T]} и {ht,t О [0,T]} индуциращи мерки върху пространството от траектории < R [0,T], B( R [0,T]) > Prx и Prh.

Нека h е абсолютно непрекъснат относно x и

h =
d
Pr
h 
d
Pr
x 
.
Тогава очевидно крайномерните разпределения на h са абсолютно непрекъснати относно крайномерните разпределения на x
F(ht1,ј,htn)\prec F(xt1,ј,xtn).
Означаваме
hSn(x1,ј,xn) = d F(ht1,ј,htn)
d F(xt1,ј,xtn)
 (x1,ј,xn),
където Sn = {t1,ј,tn}.

Интересен е обратният въпрос:
Кога абсолютната непрекъснатост на всички крайномерни разпределения влече абсолютна непрекъснатост на процесите?

Примерът в края на секцията показва, че този въпрос е нетривиален, т.е. съществуват процеси с взаимно абсолютно непрекъснати крайномерни разпределения, които не са взаимно абсолютно непрекъснати.

Ще дадем някои достатъчни условия за абсолютна непрекъснатост на процеси.

Теорема 6 Крайномерните разпределения на h са абсолютно непрекъснати относно съответните крайномерни разпределения на x.

Нека 0 < t1 < ј < tn < T е разбиването Sn на интервала [0,T]. Означаваме диаметърът на Sn с d(Sn). Ако съществува границата

~
h
 
 = ~
h
 
 (x) =
plim
d(Sn)® 0 
 hSn(xt1,ј,xtn),
то

1. E [(h)\tilde] Ј 1
и

2. h е абсолютно непрекъснат относно x тогава и само тогава, когато E [(h)\tilde] = 1. Тогава

~
h
 
 (x) = h(x) =
d
Pr
h 
d
Pr
x 
(x) ( ~
h
 
 - като функция наx = (xt)).
Случайните величини се разглеждат в основното вероятностно пространство < W, F ,Pr > .

Доказателство.
Аз тази теорема не я разбирам.

Ясна ми е само посоката:
Ако Prh\precPrh, то имаме

hSn(x) = E ( h(x) |xt1,ј,xtn).
Наистина за произволно B О s{xt1,ј,xtn} имаме, че 1B(w) = gB(xt1,ј,xtn(w)), за някаква борелова функция gB. Ще покажем, че
E 1B h(x) = E 1B hSn(x),
което означава, че hSn(x) = E (h(x)|xt1,ј,xtn).
E 1B h(x) =
у
х
gB(x)
d
Pr
h 
d
Pr
x 
(x) d
Pr
x 
 (x) =
у
х
gB(x) d
Pr
h 
 (x), но
gB(x) представлява цилиндрична повърхнина и тогава по дефиниция имаме
у
х
gB(x) d
Pr
h 
 (x) =
у
х
R n 
 gB(x) d Fht1,ј,htn(x1,ј,xn).
От друга страна
E 1B hSn(x) =
у
х
gB(x) d Fht1,ј,htn
d Fxt1,ј,xtn
 (x1,ј,xn) d Fxt1,ј,xtn(x1,ј,xn) =
у
х
R n 
 gB d Fht1,ј,htn.

Следователно hSn(x) = E (h(x)|xt1,ј,xtn). [¯]

Достатъчно условие за сингулярност на процеси дава

Лема 1 Ако за процесите x и h съществува a О (0,1), такова че за всяко e > 0

E hSn(x)a < e, за произволно разбиване
Sn с диаметър d(Sn) < e, то

Pr
x 
 ^
Pr
h 
 ,
т.е. процесите са сингулярни.

Примери

Ще разгледаме едно приложение на разгледаните по-горе понятия абсолютна непрекъснатост и сингулярност на процеси.

Теорема 7 Нека {Wt,t О R +} е стандартен винеров процес, а m(t) е детерминирана диференцируема функция с m(0) = 0. Разглеждаме процеса

xt = Wt + m(t).
(8.6)
Ако T
( т)
0 
(mў(t))2 dt < Ґ, то x\prec W и
p(x) =
d
Pr
x 
d
Pr
W 
(x) = exp м
н
о 		- 1
2
 T
у
х
0 
 (mў(t))2 dt+ T
у
х
0 
 mў(t) d xt ь
э
ю 		.

Доказателство.

Ясно е, че всички крайномерни разпределения на x и W са взаимно абсолютно непрекъснати. Нека Sn е разбиването 0 < t1 < ј < tn < T, тогава

pSn(W) = d Fxt1,ј,xtn
d FWt1,ј,Wtn
 (Wt1,ј,Wtn) = fxt1,ј,xtn
fWt1,ј,Wtn
 (Wt1,ј,Wtn) =
= exp м
н
о 		- 1
2
 n
е
i = 1 
 (Wti-Wti-1-Dm(ti))2
ti-ti-1
 + 1
2
 n
е
i = 1 
 (Wti-Wti-1)2
ti-ti-1
 ь
э
ю 		, където
Dm(ti) = m(ti)-m(ti-1), Wt0 = 0 и m(t0) = 0. Получаваме
pSn(W) = exp м
н
о 		n
е
i = 1 
 DWti Dm(ti)
ti-ti-1
 - 1
2
 n
е
i = 1 
 (Dm(ti))2
ti-ti-1
 ь
э
ю 		»
» h = exp м
н
о 		T
у
х
0 
 mў(t) d Wt - 1
2
 T
у
х
0 
 mў(t)2 dt ь
э
ю 		.
Тъй като n
( е)
i = 1 
[(DWti Dm(ti))/( ti-ti-1)]
( ®)
d(Sn)® 0 
T
( т)
0 
mў(t) d Wt, ясно е, че
pSn(W)
P
®
 
d(Sn)® 0 
 h.
За да се възползваме от теорема (8.6) остава за граничната случайна величина h да проверим дали E h = 1, тогава ще следва, че x\prec W.

Ако X О N(0,s2) е нормално разпределена, то лесно се вижда, че

E eX - s2/2 = 1.
Имаме, че T
( т)
0 
mў(t)d Wt О N(0, T
( т)
0 
mў(t)2 dt), откъдето веднага
E h = E exp м
н
о 		T
у
х
0 
 mў(t) d Wt - 1
2
 T
у
х
0 
 mў(t)2 dt ь
э
ю 		= 1.
С това показахме, че x\prec W. [¯]

[¯]



Начало на лекцията | Съдържание

File translated from TEX by TTH, version 2.10.
On 16 Jun 1999, 11:38.