Случайните процеси възникват в много реални ситуации например изменението на температурата (с времето), концентрация на дадено вещество при протичането на химическа реакция, броя на заетите абонати в телефонна централа, стойностите на финансов актив, застрахователните искове т.н. Тяхното изучаване е интересна задача с много важни приложения.
Разглеждаме едно вероятностно пространство V = < W, F ,Pr > .
Ж № W-пространство от елементарни събития;
F -s-алгебра от подмножества на W;
Pr- вероятностна мярка върху < W, F > ;
Всички случайни величини по-нататък ще считаме, че са дефинирани в пространството V .
Определение 1 [Случаен процес] Произволна съвкупност от случайни величини {xt, t О T}, където T М R , се нарича случаен процес.
Определение 2 Съвместните разпределения на xt1,ј,xtn, ti О T се наричат крайномерни разпределения на процеса, а разпределенията на xt се наричат маргинални (както при многомерните разпределения).
Определение 3 Траектории на процеса се наричат кривите, които описва xt(w), при фиксирано w когато t описва T.
Когато времето е дискретно (
|
|
Примери:
1. T = Z , xi, i = ј,-1,0,1,ј са независими в съвкупност
случайни величини с E xi = 0 и D xi = d < Ґ.
{xi,i О Z } се нарича бял шум.
2. T = N и S0 = 0, Sn = x1+ј+xn, където {xn,n О N } е бял шум.
Процесът {Sn,n О N } се нарича случайно лутане
(random walk).
3. T = R , процесът {xt, t О R } се нарича Гаусов, ако
всичките му крайномерни разпределения са многомерно нормални.
Като за начало ще въведем някои основни понятия от теорията на случайните процеси, примери и анализ на които ще се появяват постоянно по-нататък.
Важно е да имаме понятие за това кога два процеса съвпадат.
Определение 4 Нека са дадени процесите {xt,t О T} и {ht,t О T}. Казваме, че те са стохастически еквивалентни, ако за всяко t О T, xt = ht почти сигурно, т.е. xt(w) = ht(w), за почти всяко w.
Основен е въпросът за съществуване на случайните процеси. Най-често той се решава от теоремата на Колмогоров, вж. [6] или [1].
Теорема 1 [Колмогоров]
Нека за всяко n е дадена n-мерна функция на разпределение
Fn(x1,ј,xn). Ако семейството от ф. р. е съгласувано, т.е. за
произволни m,n О N и x1,ј,xn О R
Fn+m(x1,ј,xn,Ґ,ј,Ґ) = Fn(x1,ј,xn)
Fx1,ј,xn(x1,ј,xn) = Fn(x1,ј,xn).
Определение 5
Нека за процесът {xt,t О T} съществуват E xt = m(t) < Ґ и
E xt2 < Ґ, тогава
A(s,t): = cov(xs,xt) = E (xt-m(t))(xs-m(s))
Лема 1
Нека {xt,t О R } е произволен процес с ковариационна функция
A(s,t). Функцията A(s,t) е неотрицателно определена, т.е.
за прозволни t1,ј,tn и x1,ј,xn
(Ax,x) =
n
е
i,j = 1
A(ti,tj)xi xj і 0, където A = (A(ti,tj)),xў = (x1,ј,xn).
Доказателство: Нека x = еi = 1n xi xti, тогава
|
Определение 6
Когато за случайният процес {xt,t О R } с ковариационна функция
A(t,s) и очакване m(t) е изпълнено:
1. m(t) = m = const
2. A(t,s) = R(|t-s|) - не зависи от t и s, а
само от разликата им, тогава процесът се нарича слабо стационарен
(или стационарен в широк смисъл).
Pr
{xt1 < x1,ј,xtn < xn} =
Pr
{xt1+h < x1,ј,xtn+h < xn}
Очевидно всеки строго стационарен процес, който има очаквания и ковариационна функция е и слабо стационарен.
Стационарността е важно понятие, което присъства естествено в много приложения.
Теорема 2 За произволна функция m = m(t), t О R и произволна неотрицателно определена функция A(s,t) съществува, единствен (по отношение на крайномерните разпределения) гаусов процес {xt,t О R } с очакване m(t) = E xt и ковариационна функция A(s,t) = cov(xs,xt).
Един основен пример на гаусов процес е Винеровия процес.
Определение 8
Стохастичният процес {xt,t О T} с T = R + = [0,Ґ) се нарича
Винеров, ако:
1. x0 = 0
2. xt-xs е нормално разпределена с очакване 0 и дисперсия |t-s|s2.
3. {xt} е с независими нараствания, т.е. за произволни
0 Ј t1 Ј ј Ј tn случайните величини
xtn-xtn-1,ј,xt2-xt1,xt1 са
независими.
4. Траекториите Wt(w) са п.с. непрекъснати.
Когато s = 1 процеса се нарича стандартен винеров процес.
Ще докажем, че Винеровият процес е Гаусов.
Теорема 3
Нека {xt,t О R +} е Винеров процес, тогава съвместната плътност
е:
fxt1,ј,xtn(x1,ј,xn) =
1
(2 p)n/2 t11/2ј(tn-tn-1)1/2
exp{-
n
i = 1
е
(xi-xi-1)2
2(ti-ti-1)
},
Очевидно това е многомерна нормална плътност и следователно процеса е гаусов.
Доказателство:
Нека за удобство x0 = 0 и t0 = 0, тогава от определението за винеров процес
имаме, че hk = xtk-xtk-1,k = 1,ј,n са независими и
нормално разпределени с нулеви очаквания и дисперсии tk-tk-1, съответно.
xtk = h1+ј+hk,k = 1,ј,n, и тогава по теоремата за съвместната плътност
|
|
Това, че винеровия процес е гаусов следва директно като забележим, че векторът x = (xt1 јxtn)ў се получава чрез линейна трансформация на вектор от независими, стандартно нормално разпределени случайни величини. Следователно x има многомерно нормално разпределение.
Определение 9 [Марковски процес]
Случайният процес {xt,t О T} се нарича
марковски, ако за всеки s < t, s,t О T е изпълнено
E (xt|{xt,t Ј s}) = E (xt|xs).
Примери
1. Даден е процеса на случайно лутане
{Sn,n О N }, т.е. Sn = x1+ј+xn,n О N ,
където {xn,n О N } е бял шум. Този процес е марковски.
Наистина, за произволни m < n, m,n О N
|
|
Задачи
1. Случайният вектор x = (x1,x2)ў е гаусов с
cov(x1,x2) = r. Нека h = c1x1+c2x2,
c1,c2 О R . Докажете, че
|
2. Нека x = (x1,ј,xn)ў е гаусов случаен вектор с очакване (a1,ј,an)ў и неособена ковариационна матрица C = (cov(xi,xj))nxn. Докажете, че условната плътност fx1|x2 = x2,ј,xn = xn(x1) е нормална и
|
3. Нека {Wt,t О R +} е стандартен винеров процес и 0 < a = t0 < t1 < ј < tn = b е разбиване на интервала [a,b]. Докажете, че когато диаметъра на разбиването dn = min{tk-tk-1,k = 1,ј,n} клони към 0, то
|
[¯]