Тема 6
Сепарабелност. Стационарни процеси

В тази лекция ще бъдат разгледани някои основни понятия от теорията на стохастичните процеси. Сепарабелността е разгледана само накратко, без доказателства, и не се използва съществено по-нататък.

Стационарността, в широк и тесен смисъл е от основно значение и се разглежда по-подробно. Дадени са основните теореми на Бохнер-Хинчин и Колмогоров, без доказателства.

Накрая се въвеждат редица s-алгебри, свързани с даден случаен процес. Те носят информацията за процеса.

6.1  Сепарабелност

Нека е даден един произволен процес {xt,t О T Н R }. Когато времето T е ''непрекъснато'', т.е. T е неизброимо, за редица интересни множества не може да се каже дали са измерими или не. Съответно не може да се пресмята тяхната вероятност.

Например:

A = {w:
sup
t О [a,b] 
 xt(w) Ј C} или
Bt0 = {w: xt(w) е непрекъсната в t0} и т.н.
Очевидно A = Зt О [a,b] {xt Ј C}, т.е. не е изброимо обединение на измеримите множества {xt Ј C} и не може да се каже, че е измеримо, в общия случай.

Могат да се дадат много смислени примери за такива множества. Вероятността процеса да не надминава C представлява интерес за много приложения и би се изразявала с Pr(A). Тези проблеми се решават с помощта на понятието сепарабелност. Като се ограничи на класа на разглежданите процеси до сепарабелните тези събития стават измерими.

Определение 1 За процеса {xt,t О R } казваме, че е сепарабелен, ако съществува изброимо множество S Н R и Pr-нулево множество N, така че за произволен отворен интервал D Н R и произволно затворено множество F Н R

{w: xt(w) О F, t О D} \bigtriangleup{w: xt(w) О F, t О DЗS} Н N,
където ADB = A\B + B\A означава симетрична разлика на събития.

Забележка: Когато вероятностното пространство е пълно 1, то очевидно, че от A, N О F , Pr(N) = 0 и ADB Н N следва, че B също е измеримо.

Определение 2 Вероятностното пространство < W, F ,Pr > се нарича пълно, ако от B Н A, следва, че B е измеримо, за произволно Pr-нулево множество A.

Казва се още, че s-алгебрата F е пълна относно Pr.

Следващата теорема на Дуб показва, че ограничението сепарабелност не е съществено. Всички процеси които разглеждаме (с точност до стохастична еквивалентност) можем да считаме, че са сепарабелни.

Теорема 1 [Дуб] За всеки случаен процес {xt,t О R } съществува стохастично еквивалентен2 на него, сепарабелен процес {ht,t О R }.

Задачи
1. Даден е сепарабелен процес {xt,t О [a,b]} със сепаранта S и нулево множество N. Покажете, че множеството

A = {w:
sup
t О [a,b] 
 xt(w) Ј C}
е измеримо (в случая когато вероятностното пространство е пълно). [¯]

6.2   Стационарни процеси

В първа лекция се дефинират стационарните в широк и в тесен смисъл процеси - вж. определения 1.6 и 1.7.

Ще припомним определенията и ще разгледаме по-подробно стационарните в широк смисъл процеси.

Определение 3 Когато за случайният процес {xt,t О R } с ковариационна функция A(t,s) и очакване m(t) е изпълнено:
1. m(t) = m = const
2. A(t,s) = R(|t-s|) - не зависи от t и s, а само от разликата им, тогава процесът се нарича слабо стационарен (или стационарен в широк смисъл).

Определение 4 Нека {xt,t О R } е произволен процес (T= R ). Той се нарича строго стационарен (или стационарен в тесен смисъл), ако за всяко h и произволни t1,ј,tn,x1,ј,xn О R е изпълнено:

Pr
{xt1 < x1,ј,xtn < xn} = Pr
{xt1+h < x1,ј,xtn+h < xn}

Нека {xt,t О R } е слабо стационарен процес, тогава E xt = m = const и cov(xt,xs) = R(t-s). За удобство можем да считаме, че очакването m = 0 и дисперсията D xt = 1. В противен случай с линейна трансформация можем да преминем към процеса xt = (xt - m)/( D xt)1/2, за който xt = 0, D xt = 1 и cov(xt,xs) = v(t-s) = R(t-s)/ D xt. Функцията v(h) се нарича корелационна функция за процеса, защото v(t-s) дава коефициента на корелация между xt и xs.

Процеса {xt,t О R } може да се разглежда като крива в хилбертовото пространство на всички случайни величини с интегруем квадрат L2(W, F ,Pr). Имаме, че за всяко t xt ^1 и ||xt|| = 1. От непрекъснатостта на кривата {xt} по нормата ||·||L2 от неравенството на Чебишов веднага следва, че процеса {xt} е непрекъснат по вероятност.

Теорема 2 [Бохнер-Хинчин] Нека {xt,t О R } е слабо стационарен процес, непрекъснат в L2-смисъл с корелационна функция v(h). Тогава съществува единствена функция на разпределение F(t), така че е в сила представянето

v(t) =
у
х
R  
 ei t l d F(l).
(6.1)

6.1 се нарича спектрално представяне на функцията {v(h)}.
Доказателство.
За удобство можем да считме, че E xt = 0 и D xt = 1.

От лема (1.1) имаме, че v(t) е неортицателно определена функция и v(0) = 1. От непрекъснатостта в L2-смисъл на {xt} получаваме, че1 < xt,xs > = v(t-s)®t® s v(0) = 1. Тогава функцията v(t) удовлетворява условията на теоремата на Бохнер (6.3) и за нея е в сила представянето (6.1). [¯]

Теорема 3 [Бохнер] Комплексната функция j(t) е характеристична функция на някакво вероятностно разпределение F(l) тогава и само тогава, когато:

1. n
( е)
i,j = 1 
j(ti-tj)ai [`(a)]j і 0, за произволни ti О R и ai О C , т.е. функцията е неотрицателно определена.

и

2. j(t)®t® 0j(0) = 1, т.е. j е непрекъсната в 0.

Остава да се формулира теоремата на Колмогоров за спектрално представяне на слабо стационарен процес. И примери ...

6.3  Семейства от s-алгебри свързани с процес

Нека е даден процеса {xt,t О R }.

Определение 5 Означаваме:
F Ј t = s({xs, s Ј t}) - s-алгебрата, породена от процеса до момента t, включително.
F і t = s({xs, t Ј s}) - s-алгебрата, породена от процеса след момента t.
F Ґ = \mathopЗn = 1Ґ F і n - s-алгебрата, на събитията определени от поведението на процеса към Ґ.
F Ј t+ = \mathopЗt < sF Ј s
F D = s({xt,t О D}), за произволен интервал D М R .

Горните s-алгебри носят различна информация за процеса. Изпълнени са следните прости свойства.
1. F D1 Н F D2, когато D1 Н D2. В частност F Ј t е монотонно ненамаляваща (по t) фамилия от s-алгебри.
2. Нека, например, разгледаме събитието

At01 = {w:xt(w) има локален екстремум в t0}.
Ясно е, че At0 О F Ј t0+, и At0 не непременно принадлежи на F Ј t0.
3. Ако
Bt0\footnotemark[1] = {w: xt(w) е непрекъсната отляво },
то Bt0 О F Ј t0, и Bt0 не непременно принадлежи на F < t0 = F (Ґ,t).

Определение 6 Когато в основното вероятностно пространство V = < W, F ,Pr > е зададено непрекъснато отдясно, ненамаляващо семейство от s-подалгебри

F s Н F t, за s < t, F t = F t+ = \mathopЗs > t F s и F Ґ = F ,
то { F t,t О R } се нарича филтрация във V .

С процеса {xt} се свързват следните пространства от случайни величини:

L2(t) = L2(W, F Ј t, Pr
) = {x: x е F Ј t измерима и E |x|2 < Ґ}
Ht = Ht(W, F Ј t, Pr
) =
{b+ n
е
k = 1 
 ak xtk: tk Ј t, b,ak О R }
 
 2.
Примери
1. Закон за 0 и 1.
Нека xn,n О N е редица от независими случайни величини. Тогава
"A О F і Ґ, Pr
(A) О {0,1}, т.е. F і Ґе тривиална s- алгебра, т.е. .
Наистина, очевидно F Ј n и F і n+1 са независими и следователно F і Ґ Н F і n+1 и F Ј n са независими. Откъдето F і Ґ и s(\mathopИn = 1Ґ F Ј n) са независими, но
F і Ґ М s(\mathopИn = 1Ґ F Ј n) следователно
F і Ґ и F і Ґ са независими, което точно означава, че "A О F і Ґ, Pr(A) О {0,1}.
Като следствие имаме, че за A = {xn е сходяща } Pr(A) = 0 или 1, т.к. очевидно A О F і Ґ.
2.
Нека {xn,n О N } са некорелирани случайни величини. Определяме
H і Ґ = \mathopЗn = 1Ґ H і n.
Тогава H і Ґ съдържа само константните величини.
Наистина, аналогично на съображенията от закона за 0 и 1 получаваме, че H і Ґ се състои от взаимно некорелирани величини т.е. с нулева дисперсия. [¯]

Задачи
1. Нека x1 и x2 са независими сл. вел. За процеса

Xt def
=
 
 x1 cos(lt)+x2 sin(lt)
определете E Xt и R(t,s) = cov(Xt,Xs) и проверете дали е стационарен, силно или слабо, ако:
а. x1,x2 са еднакво разпределени с Pr{x1 = 1} = Pr{x1 = -1} = 1/2.
б. x1,x2 са стандартно нормално разпределени.
2.
Yt def
=
 
 A cos(j+ lt + gXt), където
A,l О R , а j е равномерно в [-p,p] разпределена, Xt е гаусов процес със стационарни нараствания, независим от j. Определете дали {Yt} е стационарен:
а. в широк смисъл.
б. в тесен смисъл.
Решение:
а.
E Yt = E E (Acos(j+ lt+gXt)|{Xt}) = 3 E E ( Acos(j)|{Xt} ) = 0.
Аналогично
cov(Yt,Ys) = E E (Acos(j+lt+gXt)
(Acos(j+ls+gXs)
 
 |{Xt}) =
= E E (cos(j+l(t-s)+g(Xt-Xs))
cos(j)
 
 )|{Xt} = R(t-s), т.к. процеса {Xt} е със стационарни нараствания.
С това показахме, че {Yt} е стационарен в широк смисъл.
б. От независимостта на j и {Xt} и от това, че
cos(j+ const) d
=
 
 cos(j)
имаме, че следните условни разпределения съвпадат:
(Acos(j+l(t1)+gXt1),ј,Acos(j+l(tn)+gXtn))|{Xt} d
=
 
(6.2)
d
=
 
 (Acos(j+lt1+gXt1 + a({Xt}),ј,Acos(j+ltn +gXtn +a({Xt} ) )|{Xt}, където
a({Xt}) е произволна {Xt} -измерима случайна величина.

От стационарността на нарастванията на {Xt} получаваме

(Xt1-Xt,ј,Xtn-Xt) d
=
 
 (Xh+t1-Xh+t,ј,Xh+tn-Xh+t),
откъдето

(cos(j+g(Xt1-Xt)),ј, cos(j+g(Xtn-Xt))) d
=
 
(6.3)
d
=
 
 (cos(j+g(Xh+t1-Xh+t)),ј,cos(j+g(Xh+tn-Xh+t))).

Сега от равенството на горните условни разпределения (6.2)(при условие процеса {Xt}) като ''интегрираме'' по {Xt} имаме, че безусловните разпределения съвпадат:

(cos(j+g(Xt1-Xt)),ј,cos(j+g(Xtn-Xt))) d
=
 
cos(j+gXt1,ј,cos(j+gXtn))
И по равенството 6.3 получаваме, че
(cos(j+gXt1),ј,cos(j+gXtn)) d
=
 
(cos(j+gXt1+h,ј,cos(j+gXtn+h)), т.е.
строга стационарност на процеса {Yt}. [¯]
3. Wt е стандартен Винеров процес. Фиксираме e > 0 и определяме процеса:
Xt def
=
 
 1
e
 (Wt+e-Wt).
Намерете очакването и ковариационната функция на {Xt}. Стационарен ли е процеса и в какъв смисъл?
Решение. Очевидно {Xt} е гаусов процес с Xt О N(0,[1/( e)]). От независимостта и стационарността на нарастванията за стандартния Винеров процес следва
E (Wb-Wa)(Wd-Wc) = дължината на([a,b]З[c,d]), откъдето веднага
cov(Xt,Xs) = 1
e2
 (e- |t-s|)+, където x+ = max
{0,x} [¯]
[¯]



Начало на лекцията | Съдържание

1 вж. следващото определение

2 вж. Определение (1.4)

1 т.к. скаларното произведение в хилбертово пространство е непрекъснато по двата си аргумента

1 коректността в определянето на тези събития е свързано с понятието сепарабелност на процес (вж. [9])

2 [`·] означава затваряне в L2 нормата (разглеждаме само L2-интегруеми процеси, освен ако не е изрично уговорено друго)

3 от независимостта на j и {Xt} и от това, че cos(j) = cos(j+ const)

File translated from TEX by TTH, version 2.10.
On 20 May 1999, 11:44.