Предишна тема Съдържание Следваща тема

Тема 10   Многомерни сл.в.



В тази лекция ще определим многомерни функция на разпределение и плътности. Ще разгледаме и условни разпределения.

10.1   Многомерни функции на разпределение

Многомерната функция на разпределение на сл.в. x О Rn се определя просто:
F(
x
 
)= F(x1,x2,...,xn)=P  (
n
З
i=1
{xi<xi}),   
x
 
=(x1,x2,...,xn)'.     (10.1)

Тя притежава следните очевидни свойства:
  1. F(-Ґ,x2,...,xn)=0;
  2. нормираност - F(Ґ,Ґ,...,Ґ)=1;
  3. монотонност - ако x'1<x2'', то F(x'1,x2,...,xn) Ј F(x''1,x2,...,xn) ;
  4. ако x1^x2^...^xn, то Fx(x)=Pi=1nFx(xi);
  5. маргиналното разпределение на сл.в. x1 се възстановява лесно:
    P  (x1<x)= F
     
    x1
    		(x)=F(x,Ґ,...,Ґ).
Казваме, че съществува плътност на разпределение f(x) на сл.в. x, ако:
F(
x
 
)= у
х
 


y
 
<
x
 
f(y) dy= у
х
x1


-Ґ
у
х
x2


-Ґ
... у
х
xn


-Ґ
f(y1,y2,...,yn)   dy1 dy2... dyn.

При това плътността се възстановява от функцията на разпределение:
f(
x
 
)=
n F(x1,x2,...,xn)
x1 x2... xn
    (10.2)

Плътността притежава следните очевидни свойства:
  1. f(x)і 0;
  2. тRn f(y) dy= 1;
  3. ако сл.в. xi са независими fx(x)=Pi=1n fx(xi).
  4. маргиналната плътност на сл.в. x1 се възстановява лесно от многомерната плътност:
    f
     
    x1
    		(x)= у
    х
    Ґ


    -Ґ
    		у
    х
    Ґ


    -Ґ
    		... у
    х
    Ґ


    -Ґ
    		f(x,y2,...,yn) dy2,dy3... dyn.

10.2   Условни разпределения

Да разгледаме първо двете целочислени сл.в. x,h. Тяхното съвместно разпределение се задава с таблицата: pi,j=P (x=i,h=j).
Определение 10.1   Ще наричаме условно разпределение на сл.в. x при условие h разпределението:
P (x=i|h=j) =
pi,j
P (h=j)
,      P  (h=j)=
 
S
k
pk,j.
За разлика от маргиналните, условните разпределения могат да се определят само за ''действителните'' стойности на сл.в. h , т.е. тези с ненулева вероятност.

Нека сега разгледаме две непрекъснати сл.в. със съвместна плътност f(x,y)>0 . Тук също се оказва възможно определянето на условни разпределения във формата на плътности

f
 
x
(x/y) =
f(x,y)
f
 
h
(y)
,      f
 
h
(y)= у
х f(x,y) dx.

В горните формули границите на сумите и интегриралите трябва да се избират така, че те (знаменателите) да са положителни. В съответните граници е определено и условното разпределение

10.3   Многомерни моменти

Единствената разлика в случая, когато разглеждаме многомерна случайна величина е в границите на интегралите - това са определени интеграли по цялата област на стойности на непрекъснатата сл. в. или съответните мултииндексни суми за дискретни сл.в.

10.3.1   Коефициент на корелация

Често се използува следното неравенство за смесените моменти на две сл.в:

E x h Ј (E x2 E h2)1/2     (10.3)

Доказателство: Имаме следното неравенство:
0Ј E(
x
(E x2)1/2
-
h
(E h2)1/2
)2=
= 1 - 2E (
x
(E x2)1/2
h
(E h2)1/2
)+ 1=
= 2(1 -
E xh
(E x2 E h2)1/2
),
от което тривиално следва неравенството (10.3).
Определение 10.2   Коефициент на корелация на сл.в. x и h с краен втори момент наричаме числото
r(x,h)=
E (x-E x)(h-E h)
s(x)s(h)
=E  
~
x
 
~
h
 
.     (10.4)
Ясно е от това определение, че при независими сл.в. коефициентът на корелация е нула. Когато вместо x и h в неравенството (10.3) поставим центрираните и нормирани сл.в. x~ и h~ ще получим, че |r(x,h)|Ј 1. Вярна е, обаче следната теорема:

Теорема 10.1   Ако коефициентът на корелация |r(x,h)| = 1, то между сл.в. съществува линейна връзка: h=ax+b.

Доказателство: Нека, например, r(x,h)=1. Да разгледаме равенството:
E  (
~
x
 
-
~
h
 
)2 = E 
~
x
 
2 -2 E  
~
x
 
~
h
 
+E 
~
h
 
2 = 1-2+1=0     (10.5)
От него и (5.7) следва, че h~=x~ с вероятност 1. Следователно, h=a x+b, където a=s(h)/s(x),   b=E h-aE x. Аналогично се разглежда случая с r(x,h)=-1. Тогава a=-s(h)/s(x).

Коефициентът на корелация може да се разглежда като мярка за зависимост между сл.в., което и често се прави на практика.

Пример 10.1   Зависими сл.в. с нулева корелация.
Нека разгледаме сл.в. x,h приемащи едновременно следните стойности: (-1,1), (0,-1), (1,1), съответно с вероятности 0.25, 0.5, 0.25. Те са зависими, защото h= 2*x2 - 1. Пресметнете коефициентът им на корелация.

10.3.2   Ковариационна матрица

В многомерния случай м.о. на сл. вектор е вектор:
E  
x
 
= E  ж
з
з
з
з
и
x1
·
·
·
xn
ц
ч
ч
ч
ч
ш		 = ж
з
з
з
з
и
E x1
·
·
·
E xn
ц
ч
ч
ч
ч
ш

Особен интерес представляват моментите от втори ред.
Определение 10.3   Ковариационна матрица на векторната случайна величина се нарича матрицата:
V(x)=E (x-E x)(x-E x)'.
V е квадратна и симетрична матрица. Диагоналните елементи на матрицата V са дисперсиите на съответните сл.в. - координати, а извъндиагоналните елементи --- се наричат коефициенти на ковариация. Ако с x~ означим сл.в. съставена от центрираните и нормирани координати на x, то V(x~) се нарича корелационна матрица. По диагонала тя съдържа единици, а извън диагоналните елементи са коефициентите на корелация.

Теорема 10.2   Ковариационната матрица V(x) е неотрицателно определена (" y: y'V yі 0).

Доказателство: Да означим за краткост x=x-E x и нека y е произволен вектор.
y'Vy=y'(E  xx')y=E (y'x)(x'y)=E |y'x|2 і 0.
Естествено, че същото твърдение е верно и за корелационната матрица
Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002
Предишна тема Съдържание Следваща тема