Тема 9 Непрекъснати разпределения

В тази лекция

ще въведем формално интеграла на Лебег-Стилтес;
ще разгледаме най-често срещаните непрекъснати разпределения;
ще въведем преобразование на Лаплас и характеристични функции;

9.1 Интеграл на Лебег-Стилтес

Както видяхме вече с помощта на ф.р. могат да се записват всички сметки с дискретни и непрекъснати разпределения. Сега ще разгледаме и общия случай. Всички интеграли в тази секция са в граници от -Ґ до Ґ .

Определение 9.1 Множеството от линейни комбинации на ф.р. наричаме функции с ограничена вариация (ф.о.в.).

Лема 9.1 Всяка ф.о.в. F(x) се представя еднозначно във формата

F(x) = a F₊(x) - b F_-(x), 0Ј a,b,

където F₊ и F_- са функции на разпределение.

Определение 9.2 Нека g(x) е произволна непрекъсната функция на R¹ и F(x) е ф.о.в. Казваме, че е зададен интеграла на Лебег - Стилтес т g(x) d F(x) , ако са крайни интегралите т |g(x)| d F₊(x)<Ґ и т |g(x)| d F_-(x)<Ґ.

Теорема 9.1 В частност за всяка ф.р. F(x) и всяка ограничена непрекъсната g(x) е краен и определен т |g(x)| d F(x)<Ґ. Лесно се проверяват следните твърдения:

всяка ф.р. (и ф.о.в.) F(x) може да има най-много изброим брой точки на прекъсване;
всяка ф.р. (и ф.о.в.) F(x) във всяка точка на непрекъснатост x, може да се представи като граница на редица от чисто скокообразни ф.р. F_n(x) с краен брой скокове;
монотонност (интегралите трябва да съществуват):

у
х g(x) d F₊(x) Ј у
х f(x) d F₊(x), g(x)< f(x)
линейност (интегралите отдясно трябва да съществуват):

у
х (a g(x)+ b f(x)) d F(x)= a у
х g(x) d F(x)+ b у
х g(x) d F(x),

у
х g(x) d(a F(x)+ b G(x))= a у
х g(x) d F(x)+ b у
х g(x) d G(x);
връзка с интеграла на Риман (съществува F'(x) и всички интеграли отдясно са обсолютно сходящи):

у
х g(x) d F(x)= у
х g(x) F'(x) d x;

у
х g(x) d F(x)= g(+Ґ)F(+Ґ) - у
х F(x) d g(x);

9.2 Преобразование на Лаплас

Определение 9.3 Преобразованието на Лаплас на неотрицателна сл.в. x се задава с формулата:

L(s)=E

-sx

у
х

e^{-s x} d F(x). (9.1)

Теорема 9.2 Преобразованието на Лаплас притежава следните свойства:

L(0)=1;
L'(0) = - E x, когато съществува;
L''(0)=E x², когато съществува;
когато x^h, L_x+h(s)=L_x(s)L_h(s);
разпределението се възстановява еднозначно.

Покажете ги.

Пример 9.1 Експоненциално разпределение

Експоненциалното разпределение има плътност: f(x) = l e^{-l x}. Следователно, неговото преобразование на Лаплас ще бъде:

L(s) = l

у
х

-(s+l)x

d x =

s+l

Лесно се пресмятат и моментите на това разпределение:

E x=

, D x=

l²

Пример 9.2 Гама-разпределение G(a,l) (виж формула (11.6) и фиг.11.2).

Напомняме плътността на това разпределение f(x) = l^a/G(a) x^a-1 e^{-l x}. Следователно, неговото преобразование на Лаплас ще бъде:

L(s) =

l^a

G(a)

у
х

x^a-1 e

-(s+l)x

d x =

l^a

(s+l)^a

Моментите на Гама-разпределението са:

E x=

, D x= L''(0)-L'(0)² =

l²

9.3 Характеристични функции

Определение 9.4 Характеристичната функция на произволна сл.в. x се задава с формулата:

f(t)=E

i t x

у
х

-Ґ

e^{i t x} d F(x). (9.2)

Теорема 9.3 Характеристичните функции притежават следните свойства:

f(0)=1;
равномерна непрекъснатост;
положителна определеност: " t_iО R, a_i О C

S a_i

_

a

_j f(t_i-t_j) і 0;
f'(0) = i E x, когато съществува;
f''(0)= - E x², когато съществува.
Когато x^h, f_x+h(s)=f_x(s)f_h(s).
разпределението се възстановява еднозначно по характеристичната си функция.

Доказателство: Ще докажем само някои от свойствата.
1.Равномерна непрекъснатост:

|f(t+h)-f(t)| Ј

у
х

-Ґ

|e^ihx-1|d F(x) Ј

у
х

|x|<N

|e^ihx-1|d F(x) +

у
х

|x|і N

|e^ihx-1|d F(x) Ј

у
х

|x|<N

d F(x)+

у
х

|x|і N

2 d F(x) Ј 3

Тук избрахме N така, че т_{|x|і N} d F(x) Ј

. След това зафиксирахме |h|<d така, че |e^ihx-1|Ј

за |x|<N.
2. Положителната определеност:

i=1

k=1

a_i

_k f(t_i-t_k) =

i=1

k=1

a_i

_k E

i(t_i -t_k)x

i=1

k=1

a_i

_k e

it_i x

-i t_kx

= E

( Z

)=E |Z|².

Първите три свойства са достатъчни за една функция да бъде характеристична - това е знаменитата теорема на Бохнер.

Пример 9.3 Характеристичната функция на стандартното нормално разпределение N(0,1) има вида: f(t)= e^-t^²^/2.

Доказателство: Характеристичната функция на нормалното разпределение може да се представи във вида:

f(t)=

(2p)^1/2

у
х

-Ґ

e^itxe

-x²/2

dx=

(2p)^1/2

у
х

-Ґ

cos

(tx)e

-x²/2

Да означим с I(t) последния интеграл и го диференцираме по t. Тогава

I'(t)=-

у
х

-Ґ

x sin

(tx)e

-x²/2

dx=

у
х

-Ґ

sin

(tx)d e

-x²/2

= -t I(t) .

Значи той удовлетворява диференциалното уравнение:

I'(t)/I(t)=-t,

d log I(t)

= -t .

Следователно, I(t)= C.e^-t^²^/2. Константата C определяме от равенството f(0)= 1.

9.4 ^*Формула за обръщане и сходимости

Може да бъдат доказана и формула за обръщане, т.е. възстановяване на функцията на разпределение (или плътността) от характеристичната функция. За всеки две точки x<y на непрекъснатост на F е изпълнено

F(y) - F(x) =

2 p

lim

у
х

-Ґ

e^ity - e^itx

f(t) e

-s² t²

d t (9.3)

Сходимостта на функциите на разпределение влече сходимост на съответните характеристични функции и обратно. За по-подробно запознаване със свойствата на х.ф. (виж, например, [(Обретенов,1974)])

Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002

Тема 9 Непрекъснати разпределения

9.1 Интеграл на Лебег-Стилтес

9.2 Преобразование на Лаплас

9.3 Характеристични функции

9.4 *Формула за обръщане и сходимости

9.4 ^*Формула за обръщане и сходимости