Тема 13 Закони за големите числа

Изложението на тази лекция следва стандартните учебници по теория на вероятностите за математици. Целите са

да се докаже най-простата форма на слабия закон за големите числа;
да се опишат някои основни свойства на редици от независими сл.в.;
да се изведат необходими и достатъчни условия за силния закон на големите числа.

13.1 Слаб закон за големите числа

Нека е дадена редица от независими сл.в.x₁,x₂,.... Да означим с S_n=S_i=1ⁿ x_i редицата от парциални суми. Пита се при какви условия редицата h_n= 1/n(S_n-E S_n) клони към 0. В този параграф ще разгледаме най-слабата възможна сходимост --- тази по вероятност.

P (

|S_n-E S_n| >e)

0 при n

Ґ. (13.1)

Определение 13.1 Когато съотношението 13.1 е изпълнено за дадена редица сл.в. x₁,x₂,..., казваме че за тази редица е в сила слаб закон за големите числа СЗГЧ.

Теорема 13.1 (Марков) Нека x₁,x₂,... е редица от сл.в. Ако

n²

i=1

x_i

0 при n

Ґ. (13.2)

Тогава за тази редица е в сила СЗГЧ.

Доказателство: Теоремата е директно следствие от неравенството на Чебишов (неравенство (5.9)). Наистина имаме:

P (

(S_n-E S_n) >e) <

D S_n

e² n²

Теорема 13.2 (Хинчин) Нека x₁,x₂,... е редица от независими и еднакво разпределени сл.в. с крайно математическо очакване a=Ex₁. Тогава за тази редица е в сила СЗГЧ.

Доказателство: Да означим с a=E x₁. Ясно е, че можем да разглеждаме центрирани сл.в. a=0. Нека означим с f(t)= E e^{i t x}_¹ х.ф. на сл.в. x_i (те всичките са еднакви). Имаме

i t h_k

= (1 - o(

) )^k

Използувахме развитието на Тейлор на f(t) около 0 --- първата производна съществува и е 0. Х.ф. f(t)=1 съответствува на константата 0.

13.2 Редици независими сл.в.

Лема 13.1 Нека е дадена редицата от събития A_n. Ако е сходящ реда

i=1

P(A_n ) < Ґ, (13.3)

то

(

limsup

A_n ) = 0. (13.4)

Доказателство: Да означим с B_n= И_{kі n}A_n. Тогава е очевидно неравенството:

P (B_n) Ј P

(

k=n

A_k) Ј

k=n

P (A_k)

Условието (13.4) е еквивалентно на условието lim_n P (B_n) = 0 .

Лема 13.2 Лема на Борел-Кантели. Нека е дадена редицата от независими събития A_n. Ако е изпълнено (13.4), то е в сила (13.3) и обратно.

Доказателство: Условието (13.4) означава, че P (B_n)

1 - P (B_n)=P

(

_n)= P

(

k=n

_k)=

k=n

(1 - P (A_k))

Сходимостта на безкрайното произведение е еквивалентна на търсената сходимост. Така за независими събития условията (13.3) и (13.4) стават еквивалентни.

13.3 Неравенство на Колмогоров

Теорема 13.3 (Колмогоров) Нека x₁,x₂,... е редица от центрирани (E x_n = 0) независими сл.в. Тогава е в сила следното неравенство:

(

sup

1Ј kЈ n

|S_k| > e) Ј

D S_n

e²

(13.5)

Доказателство: Да разгледаме пълната група събития:

H₀={

sup

1Ј kЈ n

|S_k|Јe. }, H_j={j = първото kЈ n: |S_k|>e }.

За тази група е лесно да напишем веригата неравенства:

S_n² і

j=1

(S_n² I

H_j

j=1

(S_j²+2 S_j

k=j+1

x_i+ (

k=j+1

x_k)²) I

H_j

j=1

(S_j² I

H_j

) + 2

j=1

(S_j I

H_j

k=j+1

x_i)+

j=1

((

k=j+1

x_k)² I

H_j

)і

e²

j=1

P (H_j)= e² P

(

sup

1Ј kЈ n

|S_k| > e).

Тук използуваме, че събитието H_j се определя изцяло от стойностите на първите j сл.в. и, следователно, неговият индикатор I_H_{_j} е функция на тези сл.в. Значи е сл.в. независима от сл.в. x_j+1,x_j+2,...,x_n. Така вторият член на получената сума е равен на 0.

13.4 Силен закон за големите числа

Нека разгледаме сходимостта:

(

sup

nЈ k

(S_k-E S_k) >e)

0 при n

Ґ. (13.6)

Определение 13.2 Когато съотношението 13.7 е изпълнено за дадена редица x₁,x₂,..., казваме че за тази редица е в сила усилен закон за големите числа (УЗГЧ).

Ясно е, че при проверка на сходимостта (13.7) е достатъчно да се разглеждат центрирани величини. Тогава тя може да се запише във формата:

(

sup

k>n

S_k

|> e) ѕ® 0, при n

Ґ за всяко e >0. (13.7)

Теорема 13.4 (Колмогоров) УЗГЧ е в сила за редица от нееднакво разпределени независими сл.в., за която е сходящ реда:

n=1

D x_n

n²

< Ґ

Доказателство: Теоремата е директно следствие от неравенството на Колмогоров (13.5). Нека разгледаме събитията:

A_j= {

max

2^j-1Ј k < 2^j

S_k

|>e}, j=1,2,....

Тогава 13.8 е еквивалентно на условието: P (И_j=m^ҐA_j) ѕ® 0 при m

Ґ, което е изпълнено ако е сходящ редът S P (A_j) < Ґ. Това се проверява със следната верига неравенства (вторият ред следва от неравенството (13.5) на Колмогоров):

P (A_j)Ј P

(

max

2^j-1Ј k < 2^j

|S_k|>e 2^j-1)Ј P

(

max

k < 2^j

|S_k|>e 2^j-1) Ј

e² 2^2(j-1)

k<2^j

D x_k=

e² 2^2j

k<2^j

D x_k.

Тогава получаваме

j=1

(A_j)Ј

j=1

e² 2^2j

k<2^j

D x_k=

e²

k=1

x_k

j>log₂ k

2^-2jЈ

3e²

k=1

D x_k

k²

Теорема 13.5 (Колмогоров) Нека x₁,x₂,... е редица от еднакво разпределени и независими сл.в. Тогава за тази редица е в сила УЗГЧ, ако и само ако е ограничен първият абсолютен момент E |x₁| < Ґ.

Доказателство: Доказателството ще проведем в три последователни стъпки:

Ще разгледаме редица от подходящо урязани сл.в., за които е изпълнена теорема 13.4.
Ще покажем, че за двете редици е изпълнен едновременно УЗГЧ.
Накрая ще покажем и необходимостта на условието за краен първи момент.

1. Нека разгледаме урязаните величини:

x_n^* =

м
н
о

x	x_n<n
0,	x_nі n

Да покажем сега, че за редицата x_n^* са изпълнени условията на теорема 13.4. Това е следствие от следната лема:

Лема 13.3 E |x| < Ґ тогава и само тогава, когато S P ( |x| > n) < Ґ.

Доказателство: Да означим с H_n ={w: n-1 Ј|x|< n }.

E |x| = E

|x|(

i=1

H_i

) =

i=1

|x|I

H_i

i=1

iP (H_i) =

i=1

(H_i)

k=1

i=k

(H_i)=

k=1

P (|x|>k).

|x| =

i=1

|x|I

H_i

i=1

(i-1)P

(H_i) =

k=1

P (|x|>k )-1.

Сега да покажем условията на теорема 13.4.

n=1

D x_n^*

n²

n=1

|x|² (

i=1

H_i

)

n²

= E

|x|²

i=1

H_i

n=i

n²

|x|²

i=1

H_i

(

i²

) Ј E |x| + 1.

2. Ако означим с A_n={x_n № x_n^*}, то по лемата на Борел - Кантели имаме, че limsup A_n = 0, защото

S P (A_n) = S P ( |x| > n) < Ґ.

Следователно, двете редици 1/nS_i=1ⁿx_n и 1/nS_i=1ⁿx_n^* са сходящи едновременно и към една и съща граница (събитията A_n се случват само за краен брой индекси). Остава да намерим границата на редицата

lim

i=1

E x_n^*= lim E x_n^* = lim E

x I

= E x,

защото P (A_n)

0.

3. Необходимостта следва лесно от съотношението:

x_n=

S_n -

n-1

S_n-1

и лемата 13.2 на Борел - Кантели:

P (lim_n 1/nx_n = 0) = 1, следователно, P (limsup_n {1/n|x_n| >e} ) = 0, следователно, S P (|x|> ne) = S P (|x_n|/e > n) < Ґ следователно, по лема 13.3, E |x| < Ґ .

Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002