Тема 14 Централна гранична теорема

Изложението на тази лекция следва стандартните учебници по теория на вероятностите за математици. Предмет на централната гранична теорема (ЦГТ) е следната задача. Нека е дадена редица от сл.в. x₁,x₂,.... Да означим с S_n=S_i=1ⁿ x_i редицата от парциални суми. Пита се при какви условия съответно нормирана тази редица клони по разпределение към гаусова сл.в.:

S_n-ES_n

(D S_n)^1/2

< x)

ѕ®

F(x). (14.1)

Определение 14.1 Когато съотношението 14.1 е изпълнено за дадена редица сл.в. x₁,x₂,..., казваме че за тази редица е в сила ЦГТ.

Така основната задача на всички разработки в тази област е да се установят както необходимите условия за изпълнение на ЦГТ, така и скоростта, с която се достига граничното разпределение.

В тази лекция ще разглеждаме само редици от независими сл.в.

14.1 Еднакво разпределени събираеми

Теорема 14.1 Нека x₁,x₂,... е редица от еднакво разпределени независими сл.в. с крайна дисперсия s². Тогава за тази редица е в сила ЦГТ.

Доказателство: Да означим с a=E x₁. Да разгледаме редицата от центрирани и нормирани сл.в. h_n=(x_n-a)/s и означим с f(t)=E e^ith характеристичната им функция. Тъй като E h=0 и Dh=1, то f(t) притежава първа и втора производни в т.0 и може да се развие в ред на Тейлор около тази точка: f(t)=1 - t²/2 + O(t³).

Сега да препишем вероятността в условие (14.1):

S_n-ES_n

(D S_n)^1/2

< x)= P(

n^1/2

i=1

h_i < x)

Да разгледаме сега характеристичната функция на сл.в. s_n=1/n^1/2S_i=1ⁿh_i:

i t s_n

=(E

i t n^-1/2h₁

)ⁿ= (f(t n^-1/2))ⁿ= (1 -

t²

+ O(

t³

))ⁿ

t²

14.2 Условие на Линдеберг

Тук ще разгледаме общия случай на независими случайни величини с произволни разпределения. Ще въведем следните означения. F_k(x)=P(x_k<x), a_k=E x_k, s_k²=Dx_k, s_n² = S_k=1ⁿ s_k².

Това, което първо е забелязано, е следното необходимо условие за пренебрежимост:

M_n

def

max

1Ј kЈ n

s_k²

s_n²

ѕ®

0. (14.2)

В случая с еднакво разпределени сл.в. условието за пренебрежимост е естествено изпълнено: M_n = 1/n.

Следното условие носи името на Линдеберг. За всяко e > 0

L_n(e)

def

s_n²

k=1

у
х

|x-a_k|>e s_n

(x-a_k)² dF_k(x)

ѕ®

0. (14.3)

Теорема 14.2 (Линдеберг -- Фелер) Нека x₁,x₂,... е редица от независими сл.в. с крайни дисперсии, за които е изпълнено условието за пренебрежимост (14.2). Тогава, за да е в сила ЦГТ (14.1) необходимо и достатъчно е условието на Линдеберг (14.3).

Доказателство: Да означим с F_nk(x) = P( x_k - a_k < x s_n) = F_k( a_k+ x s_n). Тогава можем да запишем двете условия (14.2) и (14.3) по - лесно:

M_n =

max

1Ј kЈ n

s_k²

s_n²

max

1Ј kЈ n

у
х

-Ґ

(

x-a_k

s_n

)² dF_k(x) =

max

1Ј kЈ n

у
х

-Ґ

x² dF_nk(x)

L_n(e) =

k=1

у
х

|x-a_k|>e s_n

(x-a_k)²

s_n²

dF_k(x) =

k=1

у
х

|x|>e

x² dF_nk(x)

Случайните величини h_nk = (x_k-a_k)/s_n са с функции на разпределение F_nk. Да означим техните характеристични функции с f_nk. Тогава твърдението на ЦГТ (14.1) може да се запише по следния начин:

k=1

f_nk(t)

t²

или

k=1

ln f_nk(t)

t²

. (14.4)

Доказателството ще проведем в няколко стъпки. При това първите три стъпки имат отношение както към необходимостта, така и към достатъчността.

А. Първо ще покажем,че условието за пренебрежимост (14.2) следва от условието на Линдеберг (14.3). Това твърдение всъщност не е необходимо за доказателството на теоремата, но е поучително.

M_n =

max

1Ј kЈ n

(

у
х

|x|Јe

x² dF_nk(x)+

у
х

e <|x|

x² dF_nk(x)) Ј e² + L_n(e).

Тъй като e е произволно от тук следва условието за пренебрежимост.

Б. От условието за пренебрежимост (14.2) следват следните твърдения:

H_n(t)

def

max

1Ј kЈ n

|f_nk(t)-1|

k=1

|f_nk(t) -1| Ј t²/2.

Достатъчно е да се използува следното неравенство:

|f_nk(t)-1|=|

у
х

-Ґ

(e^{i t x}-1-i t x)dF_nk(x)| Ј

t²

у
х

-Ґ

x² dF_nk(x) =

t²

s_k²

s_n²

В. Ще докажем пак като следствие от пренебрежимостта (14.2) следното твърдение:

R_n(t)

def

k=1

(ln f_nk(t) - (f_nk(t) -1) )

0. (14.5)

Тъй като е изпълнено (14.5) можем да изберем такова голямо n, че |f_nk(t) -1| < 1/2. Тогава имаме:

ln f_nk(t)= ln

(1 + (f_nk(t) -1) )= (f_nk(t) -1) +

j=2

(f_nk(t) -1)^j (-1)^j/j

|ln

f_nk(t) - (f_nk(t) -1)| Ј (f_nk(t) -1)²

j=0

(j+2) 2^j

(f_nk(t)-1)²

Като сумираме тези неравенства и използуваме (14.6) получаваме:

R_n(t) Ј

k=1

(f_nk(t) -1) )² Ј

H_n(t)

k=1

|f_nk(t) -1| Ј H_n(t)

t²

Достатъчност (Линдеберг) Накрая оценяваме израза:

|I_n(t)|

def

|t²/2 +

k=1

(f_nk(t) -1)|

k=1

у
х

-Ґ

(e^{i t x}-1 -i t x +

t²x²

)dF_nk(x)| Ј

|t|³e

k=1

у
х

|x|Јe

|x|²dF_nk(x) + |t|²

k=1

у
х

e<|x|

|x|² dF_nk(x)

|t|³e

+ |t|² L_n(e)

С това доказателството на достатъчността е завършено.

Необходимост (Фелер) Тъй като по условие пренебрежимостта (14.2) е изпълнена, то в сила са (14.5) и (14.6). Можем да предполагаме, че I_n(t)

0 за всяко t. Оценяваме отдолу:

Re(I_n(t))=

k=1

у
х

-Ґ

(cos(tx) -1+

t²x²

)dF_nk(x) і

k=1

у
х

|x|Јe

(tx)²

dF_nk(x)+

у
х

e<|x|

(-2)dF_nk(x)+

у
х

-Ґ

(tx)²

dF_nk(x))=

k=1

(

у
х

e<|x|

(tx)²

dF_nk(x) - 2

у
х

e<|x|

dF_nk(x)) і

t²

L_n(e) -

k=1

s_k²

e²s_n²

В последния ред използувахме неравенството на Чебишов. Като прехвърлим последния член и умножим на 2/t² получаваме неравенството:

t²

(

e²

+I_n(t)) і L_n(e).

Тъй като дясната страна не зависи от t, това е достатъчно да твърдим, че тя клони към нула.

Забележка В доказателството използувахме следните неравенства:

1-cos(a)Јa²/2, |e^it-1-it|Ј

t²

|e^it-1-it+t²/2|Ј

t³

, |e^it-1-it+t²/2|Ј t²,

както и неравенството на Чебишов.

Доказателство: Предполагаме t реално.

|e^it-1|=|i

у
х

e^iz dz|Ј

у
х

|e^iz|dz=|t|

|e^it-1-it|=|i

у
х

(e^iz-1)dz|Ј

у
х

|z|dz=|t|²/2

Аналогично получаваме:

|e^it-1-it+t²/2| Ј |t|³/3!

|e^it-1-it+t²/2|Ј t²/2 + t²/2 = t².

14.3 Следствия

Теорема 14.3 (Теорема на Ляпунов) Нека x₁,x₂,... е редица от независими сл.в. с крайни моменти от ред 2+d, d>0. Ако е изпълнено следното условие (14.8) на Ляпунов, то е в сила ЦГТ, т.е. условие (14.1).

L_n(r)

def

2+d

k=1

у
х

-Ґ

(x-a_k)

2+d

dF_k(x)=

у
х

-Ґ

|x|

2+d

dF_nk

ѕ®

0, (14.6)

Доказателство: Доказателството следва веднага от неравенството:

L_n(e) =

k=1

у
х

|x|>e

x² dF_nk Ј

k=1

у
х

|x|>e

|x|

2+d

dF_nkЈ

L_n(r).

Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002