Тема 3 Независимост

Независимостта е най-фундаменталното понятие на теорията на вероятностите. Макар че, както ще видим нататък, тя е някакъв еквивалент на декартовото произведение на множества, или на правото произведение на алгебри, т.е. в математически смисъл едва ли привнася нещо ново, независимостта в действителност е основата на тази теория. Това е понятието, което прави теорията незаменима, когато има нужда от математическо моделиране на явления с непредсказуем изход.

Независимостта, като строго понятие от математиката, се оказва неимоверно близка до нормалните, езикови или човешки представи за същото -- кога едно събитие оказва (или не ) някакво влияние върху възможността друго събитие да настъпи.

Независимостта има и недостатъци --- изискванията са толкова строги, че стават непроверяеми. Когато казваме, че две събития са независими, ние влагаме много повече вяра, от колкото бихме могли да проверим.

3.1 Независимост на събития

Регистрацията на настъпване на дадено случайно събитие променя състоянието на вероятностното пространство -- вече е невъзможно настъпването на елементарни събития извън (не влечащи) това събитие. Тази ситуация е отразена в изменението на вероятността на другите събития -- условната им вероятност не винаги е същата като безусловната.

В някои, редки случаи, обаче настъпването на някои събития не оказва такова влияние върху шансовете на други събития.

Тук ще дадем формално определение на понятието независимост. Ще се убедим, че в тази си формулировка, то изключва някаква причинно следствена връзка между явленията, които наричаме независими.

Определение 3.1 Казваме че събитията A,B са независими, ако е изпълнено равенството P (A B) = P (A)P (B). Ще бележим независимите събития A^ B.

От това определение веднага следва, че условната вероятност на всяко от двете събития при условие, че е настъпило другото, е равна на безусловната му вероятност. С други думи, вероятността да настъпи събитието A не зависи от това, дали е настъпило или не, събитието B.

Определение 3.2 Казваме, че разделянията g и d са независими, ако " AОg и " BОd имаме A^ B. Ще бележим независимите разделяния g^d.

3.2 Независимост в съвкупност

Определение 3.3 Казваме че събитията {A_k, k=1,2,...,n } са независими в съвкупност, ако вероятността на всяко от тях не зависи от това дали се е случила някоя комбинация от останалите събития.

От това определение следва силно опростяване на формулата за умножение (2.2), когато събитията са независими в съвкупност:

P (A₁A₂... A_n) = P (A₁)P (A₂)...P (A_n). (3.1)

Нещо повече, тя е изпълнена и за произволна комбинация от тези събития.

Пример 3.1 Да разгледаме следното вероятностното пространство състоящо се от 4 равновероятни елементарни събития: {w_i, i=1, 2, 3, 4}. Тогава събитията A={w₁,w₂}, B={w₁,w₃}, C={w₁,w₄} са независими две по две, но не са независими в съвкупност.

Наистина, P (A)=P (B)=P (C)=1/2, P (A B)=P (BC)=P (AC)=1/4, но P (ABC)=P ({w₁}) =1/4 № 1/8.

3.3 Произведение на вероятностни пространства

Нека са зададени две вероятностни пространства: (W₁, A₁, P ₂) и (W₂, A₂, P ₂). Да образуваме декартовото произведение W на двете множества W₁ и W₂:

W=W₁

W₂={(w₁,w₂), w₁ОW₁,w₂ОW₂}.

Нека разгледаме W и в него множеството от всички ''правоъгълници'' P= {A₁

A₂, A₁О A₁, A₂О A₂}. Вероятността върху ''правоъгълниците'' се определя просто: P (A₁

A₂) = P ₁(A₁) * P ₂(A₂). Множеството P очевидно не е булова алгебра.

Теорема 3.1 Множеството F от крайни суми на непресичащи се ''правоъгълници'' е булова алгебра.

Доказателство: Трябва да проверим аксиомите. В доказателството за краткост ще използуваме означението C (понякога с индекси) за означаване на правоъгълници.
1. Аксиомата W О F е очевидно изпълнена:

₁

₂ =W₁

₂ =

₁

W₂, W=W₁

W₂.;
2. Ако A,B О F, то A З BО F.
Това следва непосредствено от определението на декартово произведение:

A₁

A₂ З B₁

B₂ = A₁ З B₁

A₂ З B₂=C О F. (3.2)

От (3.2) следва:

(

Aⁱ

Bⁱ)З(

A^j

B^j)= (

C₁ⁱ)З(

C₂^j)=

i,j

C₁ⁱЗ C₂^j, (3.3)

което изразява сечението на два произволни елемента от F. Това доказателство тривиално се разширява за краен брой елементи на F.
3. Ако AО F, то A^_О F .
Допълнението на един правоъгълник се получава просто като сума на три непресичащи се правоъгълника:

B+ A

=C₁+C₂+C₃. (3.4)

Формули (3.3) и (3.4) и законите на Де Морган дават възможност да изразим лесно и допълнението на произволен елемент от F:

A_i

B_i

A_i

B_i

(C₁ⁱ+C₂ⁱ+C₃ⁱ).

(3.5)

Определението на P се разширява просто от P върху F:

(

i=1

A₁ⁱ

A₂ⁱ) =

i=1

P (A₁ⁱ

A₂ⁱ).

Означаваме s-алгебрата породена от правоъгълниците A=s(P)Й F. Вероятността P на F се оказва непрекъсната в

и можем да използуваме теоремата 1.1 (на Каратеодори), която ни дава съществуване и единственост на вероятността P върху A. Така полученото вероятностно пространство наричаме произведение и бележим с: (W₁, A₁,P ₁)

(W₂, A₂,P ₂).

Лема 3.1 Ако C=S_i=1^ҐC_i, C,C_i О P , то P (C)=S_i=1^Ґ(C_i).

Доказателство: Да отбележим, че ако един правоъгълник A=A₁

A₂ се раздели на сума (от непресичащи се правоъгълници) A=B+C, то това може да стане само по два начина -- чрез разделяне на A₁ или A₂. Във всеки от двата случая имаме: P (A)= P (B)+P (C). По индукция това свойство се прехвърля и върху безкрайно разделяне на правоъгълници. Да го наречем частична s-адитивност.

Теорема 3.2 Вероятността P определена върху буловата алгебра F е непрекъсната в нулата.

Доказателство: Да разгледаме намаляваща редица от елементи B_nОP, такава, че З B_n =

. Да означим с A_n=B_n\ B_n+1. Съгласно теорема 3.1 имаме A_nО F. Да отбележим, че поради предположението имаме B₁=S_n=1^ҐA_n. Тъй като множествата A_n са непресичащи се, за " n е изпълнено равенството:

P (B₁) = P (A₁)+P (A₂)+...+P (A_n)+P (B_n+1).

Тъй като B₁, A_n, n=1,2,... са крайни суми от ''правоъгълници'', остана да пренаредим елементите им така, че да получим последователни разделяния на елементите на B₁. Тогава можем да се възползуваме от отбелязаната частична s-адитивност на P .

3.4 Независимост на s-алгебри и разделяния

Определение 3.4 Казваме, че дадени s-алгебри { A_i, i=1,...,n } са независими две по две (в съвкупност), ако събитията от всеки набор {A_i, A_iО A_i, i=1,...,n } са независими две по две (в съвкупност).

В пространството (W₁, A₁,P ₁)

(W₂, A₂,P ₂), построено в предната секция има две независими s-подалгебри:

A₁={A₁ W₂, A₁О A₁};
A₂={W₁ A₂, A₂О A₂}.

Пример 3.2 Хвърляне на два зара. В пример 3.2 вероятностното пространство е произведение на две пространства:

резултат от първи зар W₁= {1,2,...,6};
резултат от втори зар W₂= {1,2,...,6};

Пример 3.3 Нека сега разгледаме отново пример 2.4. Нека всички полета на шахматната дъска са равновероятни.

Сега е лесно да се види, че трите разделяния: g₁ - на колони, g₂ -на редове,g₃ -на два цвята - бели и черни са независими две по две, но не са независими в съвкупност.

Пример 3.4 В задачата на Бюфон (пример 1.3) вероятностното пространство също се оказва произведение на две пространства:

W₁= {0ЈaЈp/2} и W₂= {0Ј x Ј a/2}.

Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002