Тема 2 Условна вероятност
В тази лекция си поставяме следните цели:
-
да определим понятието условна вероятност;
- да докажем знаменитите формули за пълната вероятност и на
Бейс;
- да определим условни вероятностни пространства;
- да дадем примери и контрапримери.
2.1 Формула на пълната вероятност
Определение 2.1
Нека BО A и P (B) >0.
За всяко събитие AО A ще наречем числото
условна вероятност на събитието A при условие събитието B.
Лесно е да се види, че ако фиксираме условието B, условната
вероятност притежава всичките свойства на безусловната. Събитието
B (и всички съдържащи го събития) притежава условна вероятност
1. Събитията влечащи B повишават своята вероятност, а
несъвместимите с B стават ''невъзможни''. Така върху същата
s-алгебра е породена нова вероятност отразяваща факта за
настъпването на събитието B. Нека я означим с P B.
Определение 2.2
Казваме, че събитията (H1,H2,...,Hn) образуват пълна група
в (или крайно разделяне g на) W, когато събитията са
несъвместими (Hi Hj=
, " i№ j) и изчерпват
достоверното събитие (H1+H2+··· +Hn=W). Прието е
събитията от пълната група да се наричат хипотези.
Нека е зададена пълната група събития
(H1,H2,...,Hn).
Изпълнена е следната формула за пълната
вероятност:
P |
(A) = |
|
P (A|Hi) P (Hi).
(2.1) |
Доказателство: Следва лесно от очевидното равенство:
A=A H1+A H2+···+ A Hn,
определения 2.1 (на условна вероятност) и 1.4 (на вероятност).
![](box.gif)
Пример 2.1 На лов за патици.
Едно младо семейство отишло на лов за патици.
Те хвърлили чоп кой да стреля по първата патица.
Пита се каква е вероятността да са я улучили, ако
е известно, че:
-
чоп са хвърляли честно с правилна монета;
- мъжът улучва средно в един от пет изстрела;
- мъжът улучва средно два пъти по-често от жената.
Решение. Да означим с A събитието мъжът да е стрелял
пръв. Според условие 1. P(A)=1/2. Да означим с B събитието
патицата да е улучена. Според условие 2. P(B/A)=1/5.
Според условие 3. P(B/A)=2*P(B/A). Следователно,
P(B)= P(A)*P(B/A)+P(A)*P(B/A)=3/20.
![](box.gif)
Теорема 2.1
(Формула за умножение на вероятности) Вярна е
следната формула:
P (A1A2... An) = P (A1)
P (A2| A1)
P (A3|A1A2)... P (An|A1A2... An-1).
(2.2)
Доказателство: Ще докажем твърдението по индукция. За n=2 то е очевидно
следствие от определение 2.1 на условна вероятност.
Нека то е изпълнено за някое n. Тогава да приложим същото
определение за събитията B=A1 A2... An и An+1:
P (A1A2... An+1) = P (B An+1) = P (B)
P (An+1|B)
= P (A1)P (A2| A1)
P (A3|A1A2)... P (An|A1A2... An+1).
![](box.gif)
Пример 2.2 Пак на лов за патици.
Каква е вероятността да се улучат три патици подред от първия път, ако
договорката между двамата е била, който улучи пръв, да стреля
докато улучва.
Решение. Да означим с Bi събитието ''улучена е i-тата
патица'' и B= B1 B2 B3. Съгласно формулата за пълна
вероятност имаме:
P(B)=
P(A)*P(B/A)+P( |
|
)*P(B/ |
|
). |
Съгласно формулата за умножение имаме:
P(B/ A)= P(B1 B2 B3/ A)=
P(B1/A) P(B2/A B1) P(B3/ A B1 B2)= (P(B1/A))3.
Тук неявно предполагаме, че вероятностите за улучване са едни и същи и
не зависят от резултатите от предходните опити (едно доста
съмнително предположение). Така окончателно получаваме
P(B)=1/2*(1/5)3 +1/2 (1/10)3 = (9/2)10-3=0.45%
![](box.gif)
2.2 Формула на Бейс
Следната знаменита формула на Бейс намира широко приложение в
статистиката:
Доказателство: Следва от определение 2.1 на условна
вероятност. ![](box.gif)
Пример 2.3 И пак на лов за патици. Един
съсед бил добре запознат с тяхната
уговорка и наблюдавал иззад баира, как с три изстрела семейството
сваля три патици. Запитал се той, кой ли всъщност е стрелял или
колко по-голяма e вероятността
да се е паднало на мъжа да стреля.
Решение.
Ще използуваме същите означения. Тъй като
P(Bi/A) = 2* P(Bi/A), то
P(B/A) = 8* P(B/A). Тогава
Забележете, че тук даже не се нуждаем от точната величина на
условната вероятност P(B/A). Достатъчни са само предположения 1 и 3,
описани в примера 2.1. Оказва се 8 пъти по-вероятно да
се е паднало на мъжа да стреля пръв.
![](box.gif)
2.3 Условни вероятностни пространства
Както вече отбелязахме, всяко крайно разделяне на
пространството g на непресичащи се събития води до появата
на серия от условни вероятности, определени върху A.
Това ни дава възможност да препишем формула (2.1) във вида:
P |
(A)= |
|
P (B)P B(A).
(2.4) |
Горното равенство се разбира като равенство на вероятностни мерки,
т.е. то е изпълнено за всяко събитие AО A.
Понякога, обаче, е удобно да разглеждаме условните вероятности
като съсредоточени само върху събитието -- условие. Тогава трябва
да определим подходящо s-алгебра AB на B и
разглеждаме вероятностното пространство (B, AB,P B).
Това се прави тривиално, когато условието B има ненулева
вероятност: AB= {AЗ B, AО A},
P (A)=P (A)/P (B), AО AB.
Такива вероятностни пространства наричаме условни.
Пример 2.4
Нека разгледаме една квадратна шахматна дъска.
|
![](chess.gif) |
Да свържем с нея вероятностно пространство
съгласно формулата за
геометрична вероятност. Тъй като дъската е разделена на 64 еднакви
квадратчета, вероятността една случайна точка да попадне в такова
квадратче е 1/64. Ние, обаче, ще променим тези вероятности като ги
заменим на числата { pi,j, i=1,2,...,8,
j=a,b,...,h. Ясно е, че стига да са изпълнени условията
pi,j>0 и S pi,j = 1, ние ще получим едно добре
определено вероятностно пространство. |
|
Фигура 2.1: Шахматна дъска |
|
В това пространство има три
различни естествени разделяния:
-
g1 - на колони j=a,b,...,h;
- g2 -на редове i=1,2,...,8;
- g3 -на два цвята - бели и черни.
Нека означим с pi, . = Sj pi,j, p., j = Si
pi,j. Така, когато се случи, например, събитието
{j=b}Оg1, получаваме условното вероятностно
пространство, свързано с колоната: {b}. В него има 8 полета с
означения:
1b, 2b,...,8b и условни вероятности, съответно,
p1,b/p.,b,
p2,b/p.,b,...
p8,b/p.,b.
Възможна е и обратната интерпретация. Нека вземем един набор
от различни вероятностни пространства:
{(Wi, Ai,P i), i=1,2,...}
Сега можем да образуваме директната сума от множества:
W=W1+W2+.... Да определим на
W формалната
сума от A = A1+ A2+....
С всеки набор от вероятности {pi},( pi>0,S pi=1) е
свързана една вероятностна мярка на A, определена по
формулата (2.1).
Така формулата за пълна вероятност съответствува на едно
разпадане на вероятностното пространство в ''претеглена сума'' от
условни вероятностни пространства.
2.4 Измерими разделяния и булови s-подалгебри
С всяко крайно разделяне g на пространството W е
свързана еднозначно определена булова подалгебра
AgМ A. Тя е крайна и съдържа
точно 2N елемента, ако разделянето g се състои от N
непразни множества. Изобщо казано е вярна следната
Теорема 2.2
Съществува взаимно - еднозначно
съответствие между крайните булови алгебри и крайните разделяния
на пространството W.
Доказателство: 1.Да съпоставим на всяко разделяне булова алгебра.
Нека g={H1,H2,... Hn}. Нека означим с N
множеството {1,2,...,n} и нека IМ N. Да разгледаме
семейството от множества от вида: AI=SiО I Hi. Те
образуват булова подалгебра на A. Наистина,
A
=
, AN = W,
AI=AI, AIИ J= AI И AJ. Да
означим тази подалгебра Ag.
2. Обратно, нека
B е крайна (състояща се от краен брой множества)
булова подалгебра М A.
Ще наречем атом на B всяко множество от вида:
Така на всяко wО W съпоставяме единствено
множество A(w)О B, което го съдържа -
значи множеството от атоми образува разделяне.
Взаимната еднозначност на това съответствие
предоставяме на читателя. ![](box.gif)
Това съответствие поражда интересна връзка между
операциите определени върху подалгебри и разделяния. На
тривиалната алгебра {
,W} отговаря тривиалното
разделяне n={W}.
Определение 2.3
Казваме, че d е по-ситно (или по фино) от
g ( g Ј d ) ако AgМ
Ad.
Това означава, че елементите на разделянето g са
по-груби, те се състоят от по няколко елемента на разделянето
d . И двете множества -- това на буловите алгебри и това на
разделянията -- са частично наредени. Но тъй като съществуват
max, min те са и решетки. В частност,
max( A |
|
, A |
|
)=
s( A |
|
, A |
|
)=
A |
|
. |
Разделянето max(d,g) се състои от всевъзможни сечения
на елементи от двете разделяния.
min( A |
|
, A |
|
)=
A |
|
З A |
|
=
A |
|
. |
Разделянето min(d,g) се състои от събития, които
могат да се представят като обединения на
елементи, както от едното, така и от другото разделяне.
Благодарение на това двете структури - на булови алгебри и
разделяния стават изоморфни. Този изоморфизъм може да се разшири и
за s-подалгебри, но това е възможно само след въвеждането
на фиксирана вероятност. Тогава всички s-подалгебри се
попълват с подмножествата на събития с нулева вероятност и
се разглеждат само класовете еквивалентни събития. Когато
s-алгебрата A е породена от
някакво изброимо семейство множества, което разделя точките във
вероятностното пространство W,
теорема 2.2 може да се обобщи.
Теорема 2.3
Съществува взаимно - еднозначно
съответствие между s-подалгебрите на A и
измеримите разделяния на W.
Един такъв пример ще видим в теорема 8.2 по-късно
за схемата на Бернули.
Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002