Тема 2 Условна вероятност

В тази лекция си поставяме следните цели:

да определим понятието условна вероятност;
да докажем знаменитите формули за пълната вероятност и на Бейс;
да определим условни вероятностни пространства;
да дадем примери и контрапримери.

2.1 Формула на пълната вероятност

Определение 2.1 Нека BО A и P (B) >0. За всяко събитие AО A ще наречем числото

P (A|B) =

P (A B)

P (B)

условна вероятност на събитието A при условие събитието B.

Лесно е да се види, че ако фиксираме условието B, условната вероятност притежава всичките свойства на безусловната. Събитието B (и всички съдържащи го събития) притежава условна вероятност 1. Събитията влечащи B повишават своята вероятност, а несъвместимите с B стават ''невъзможни''. Така върху същата s-алгебра е породена нова вероятност отразяваща факта за настъпването на събитието B. Нека я означим с P _B.

Определение 2.2 Казваме, че събитията (H₁,H₂,...,H_n) образуват пълна група в (или крайно разделяне g на) W, когато събитията са несъвместими (H_i H_j=

, " i№ j) и изчерпват достоверното събитие (H₁+H₂+··· +H_n=W). Прието е събитията от пълната група да се наричат хипотези.

Нека е зададена пълната група събития (H₁,H₂,...,H_n). Изпълнена е следната формула за пълната вероятност:

(A) =

i=1

P (A|H_i) P (H_i). (2.1)

Доказателство: Следва лесно от очевидното равенство:

A=A H₁+A H₂+···+ A H_n,

определения 2.1 (на условна вероятност) и 1.4 (на вероятност).

Пример 2.1 На лов за патици. Едно младо семейство отишло на лов за патици. Те хвърлили чоп кой да стреля по първата патица. Пита се каква е вероятността да са я улучили, ако е известно, че:

чоп са хвърляли честно с правилна монета;
мъжът улучва средно в един от пет изстрела;
мъжът улучва средно два пъти по-често от жената.

Решение. Да означим с A събитието мъжът да е стрелял пръв. Според условие 1. P(A)=1/2. Да означим с B събитието патицата да е улучена. Според условие 2. P(B/A)=1/5. Според условие 3. P(B/A)=2*P(B/A). Следователно, P(B)= P(A)*P(B/A)+P(A)*P(B/A)=3/20.

Теорема 2.1 (Формула за умножение на вероятности) Вярна е следната формула:

P (A₁A₂... A_n) = P (A₁) P (A₂| A₁) P (A₃|A₁A₂)... P (A_n|A₁A₂... A_n-1). (2.2)

Доказателство: Ще докажем твърдението по индукция. За n=2 то е очевидно следствие от определение 2.1 на условна вероятност. Нека то е изпълнено за някое n. Тогава да приложим същото определение за събитията B=A₁ A₂... A_n и A_n+1:

P (A₁A₂... A_n+1) = P (B A_n+1) = P (B) P (A_n+1|B)

= P (A₁)P (A₂| A₁) P (A₃|A₁A₂)... P (A_n|A₁A₂... A_n+1).

Пример 2.2 Пак на лов за патици. Каква е вероятността да се улучат три патици подред от първия път, ако договорката между двамата е била, който улучи пръв, да стреля докато улучва.

Решение. Да означим с B_i събитието ''улучена е i-тата патица'' и B= B₁ B₂ B₃. Съгласно формулата за пълна вероятност имаме:

P(B)= P(A)*P(B/A)+P(

)*P(B/

Съгласно формулата за умножение имаме:

P(B/ A)= P(B₁ B₂ B₃/ A)= P(B₁/A) P(B₂/A B₁) P(B₃/ A B₁ B₂)= (P(B₁/A))³.

Тук неявно предполагаме, че вероятностите за улучване са едни и същи и не зависят от резултатите от предходните опити (едно доста съмнително предположение). Така окончателно получаваме P(B)=1/2*(1/5)³ +1/2 (1/10)³ = (9/2)10^-3=0.45%

2.2 Формула на Бейс

Следната знаменита формула на Бейс намира широко приложение в статистиката:

P (H_k|A) =

P (A|H_k)P (H_k)

i=1

P (A|H_i) P (H_i)

. (2.3)

Доказателство: Следва от определение 2.1 на условна вероятност.

Пример 2.3 И пак на лов за патици. Един съсед бил добре запознат с тяхната уговорка и наблюдавал иззад баира, как с три изстрела семейството сваля три патици. Запитал се той, кой ли всъщност е стрелял или колко по-голяма e вероятността да се е паднало на мъжа да стреля.

Решение. Ще използуваме същите означения. Тъй като P(B_i/A) = 2* P(B_i/A), то P(B/A) = 8* P(B/A). Тогава

/B)=

1/2 P(B/

)

1/2 P(B/A)+ 1/2 P(B/

)

P(B/

)

8 * P(B/

)+ P(B/

)

=1/9,

P(A/B)=1- P(

/B)=8/9.

Забележете, че тук даже не се нуждаем от точната величина на условната вероятност P(B/A). Достатъчни са само предположения 1 и 3, описани в примера 2.1. Оказва се 8 пъти по-вероятно да се е паднало на мъжа да стреля пръв.

2.3 Условни вероятностни пространства

Както вече отбелязахме, всяко крайно разделяне на пространството g на непресичащи се събития води до появата на серия от условни вероятности, определени върху A. Това ни дава възможност да препишем формула (2.1) във вида:

(A)=

BОg

P (B)P _B(A). (2.4)

Горното равенство се разбира като равенство на вероятностни мерки, т.е. то е изпълнено за всяко събитие AО A.

Понякога, обаче, е удобно да разглеждаме условните вероятности като съсредоточени само върху събитието -- условие. Тогава трябва да определим подходящо s-алгебра A_B на B и разглеждаме вероятностното пространство (B, A_B,P _B). Това се прави тривиално, когато условието B има ненулева вероятност: A_B= {AЗ B, AО A}, P (A)=P (A)/P (B), AО A_B. Такива вероятностни пространства наричаме условни.

Пример 2.4 Нека разгледаме една квадратна шахматна дъска.

Да свържем с нея вероятностно пространство съгласно формулата за геометрична вероятност. Тъй като дъската е разделена на 64 еднакви квадратчета, вероятността една случайна точка да попадне в такова квадратче е 1/64. Ние, обаче, ще променим тези вероятности като ги заменим на числата { p_i,j, i=1,2,...,8, j=a,b,...,h. Ясно е, че стига да са изпълнени условията p_i,j>0 и S p_i,j = 1, ние ще получим едно добре определено вероятностно пространство.

Фигура 2.1: Шахматна дъска

В това пространство има три различни естествени разделяния:

g₁ - на колони j=a,b,...,h;
g₂ -на редове i=1,2,...,8;
g₃ -на два цвята - бели и черни.

Нека означим с p_{i, .} = S_j p_i,j, p_{., j} = S_i p_i,j. Така, когато се случи, например, събитието {j=b}Оg₁, получаваме условното вероятностно пространство, свързано с колоната: {b}. В него има 8 полета с означения:
1b, 2b,...,8b и условни вероятности, съответно, p_1,b/p_.,b, p_2,b/p_.,b,... p_8,b/p_.,b.

Възможна е и обратната интерпретация. Нека вземем един набор от различни вероятностни пространства: {(W_i, A_i,P _i), i=1,2,...}

Сега можем да образуваме директната сума от множества: W=W₁+W₂+.... Да определим на W формалната сума от A = A₁+ A₂+.... С всеки набор от вероятности {p_i},( p_i>0,S p_i=1) е свързана една вероятностна мярка на A, определена по формулата (2.1).

Така формулата за пълна вероятност съответствува на едно разпадане на вероятностното пространство в ''претеглена сума'' от условни вероятностни пространства.

2.4 Измерими разделяния и булови s-подалгебри

С всяко крайно разделяне g на пространството W е свързана еднозначно определена булова подалгебра A_gМ A. Тя е крайна и съдържа точно 2^N елемента, ако разделянето g се състои от N непразни множества. Изобщо казано е вярна следната

Теорема 2.2 Съществува взаимно - еднозначно съответствие между крайните булови алгебри и крайните разделяния на пространството W.

Доказателство: 1.Да съпоставим на всяко разделяне булова алгебра. Нека g={H₁,H₂,... H_n}. Нека означим с N множеството {1,2,...,n} и нека IМ N. Да разгледаме семейството от множества от вида: A_I=S_{iО I} H_i. Те образуват булова подалгебра на A. Наистина, A

, A_N = W, A_I=A_I, A_{IИ J}= A_I И A_J. Да означим тази подалгебра A_g.
2. Обратно, нека B е крайна (състояща се от краен брой множества) булова подалгебра М A. Ще наречем атом на B всяко множество от вида:

A(w)=З

BО B

(w)

, B

(w)

м
н
о

w О B

w О

Така на всяко wО W съпоставяме единствено множество A(w)О B, което го съдържа - значи множеството от атоми образува разделяне. Взаимната еднозначност на това съответствие предоставяме на читателя.

Това съответствие поражда интересна връзка между операциите определени върху подалгебри и разделяния. На тривиалната алгебра {

,W} отговаря тривиалното разделяне n={W}.

Определение 2.3 Казваме, че d е по-ситно (или по фино) от g ( g Ј d ) ако A_gМ A_d.

Това означава, че елементите на разделянето g са по-груби, те се състоят от по няколко елемента на разделянето d . И двете множества -- това на буловите алгебри и това на разделянията -- са частично наредени. Но тъй като съществуват max, min те са и решетки. В частност,

max( A

, A

)= s( A

, A

)= A

max(d,g)

Разделянето max(d,g) се състои от всевъзможни сечения на елементи от двете разделяния.

min( A

, A

)= A

З A

= A

min(d,g)

Разделянето min(d,g) се състои от събития, които могат да се представят като обединения на елементи, както от едното, така и от другото разделяне.

Благодарение на това двете структури - на булови алгебри и разделяния стават изоморфни. Този изоморфизъм може да се разшири и за s-подалгебри, но това е възможно само след въвеждането на фиксирана вероятност. Тогава всички s-подалгебри се попълват с подмножествата на събития с нулева вероятност и се разглеждат само класовете еквивалентни събития. Когато s-алгебрата A е породена от някакво изброимо семейство множества, което разделя точките във вероятностното пространство W, теорема 2.2 може да се обобщи.

Теорема 2.3 Съществува взаимно - еднозначно съответствие между s-подалгебрите на A и измеримите разделяния на W.

Един такъв пример ще видим в теорема 8.2 по-късно за схемата на Бернули.

Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002