Определение 1
Процеса {xt,t О T } се нарича мартингал, ако E |xt| < Ґ
и удовлетворява условието:
E (xt | F Ј s) = xs, където (10.1)
Равенството (10.1) се нарича мартингално свойство.
Ако равенството в мартингалното свойство се замени с Ј или і получаваме съответно супер- и суб- мартингал. По-точно:
Определение 2
Когато за {xt} имаме, че E |xt| < Ґ и за всеки s < t
E (xt | F Ј s) і xs,
Определение 3
Когато за {xt} имаме, че E |xt| < Ґ и за всеки s < t
E (xt | F Ј s) і xs,
Примери
1. X0 = 0, а X1, ј, Xn, ј са независими случайни величини с нулево очакване. Тогава Sn = X0+X1+ј+Xn е мартингал.
2. Аналогично за непрекъснато време Винеровият процес {Wt} е мартингал.
3. Мартингал е и всеки процес с независими нараствания и нулеви очаквания.
4. Нека {xt} е мартингал, а j е изпъкнала функция, т.е. j(lx + (1-l)y) Ј lj(x) + (1-l)j(y), за l О (0,1).
Докажете, че yt = j(xt) е субмартингал ( когато
E |yt| < Ґ).
Забележка: Ако j е вдлъбната се получава супермартингал.
Упътване: Използвайте неравенството на Йенсен за условни математически
очаквания: Ако j е изпъкнала, то
|
[¯]
Задача За дискретно време T докажете, че съгласувания процес с крайни очаквания {xt,t О T} е мартингал точно тогава, когато
|
Задача Нека {xt,t О T} е мартингал. Докажете, че {xt} е
с некорелирани нараствания.
Доказателство.
Достатъчно е да се покаже, че cov( xt+h-xt, xt) = 0.
От това, че {xt} е мартингал, следва, че E xt = const, откъдето
|
|
Твърдение 1
Процеса {xt,t О [0,Ґ)} е с независими нараствания и E xt = 0.
Нека за функцията F(t) имаме
E |xt-xs|2 = F(t)-F(s), за всеки 0 Ј s Ј t,
Доказателство.
По условие {ht} е съгласуван и е с нулево очакване. Остава да се
провери мартингалното свойство. Нека 0 Ј s Ј t
|
|
|
|
Определение 4 Казваме, че процеса {At,t О T}, с дискретно време T, е предсказуем, ако At е F t-1-измерима, за всяко t.
Предсказуемия процес може да бъде представен като функция на миналото, т.е. предсказан.
Теорема 1 [Дуб-Майер]
Нека {Yn,n О N} е субмартингал (относно потока { F n,n О N }).
Полагаме X0 = Y0, A0 = 0 и
Xn = X0+
n
k = 1
е
DYk - E (DYk| F k-1),
An =
n
k = 1
е
E (DYk| F k-1), където DYk = Yk-Yk-1.
Yn = Xn+An.
Доказателство.
Веднага се вижда, че {An} е предсказуем, т.к.
E (DYk| F k-1) са F k-1-измерими. От това, че {Yn}
е субмартингал имаме, че
E (DYk | F k-1 ) = E (Yk - Yk-1 | F k-1) і 0, откъдето
получаваме, че An і 0 и An Ј An+1.
Очевидно е, че Xn+An = Yn, остава да проверим само мартингалното свойство за {Xn}, т.к. е ясно, че {Xn} е съгласуван и с крайни очаквания.
|
|
Да се допълни с: (евентуално в допълнението)
сходимост на мартингали (Теорема на Дуб и НДУ за равномерна интегруемост на мартингал), ЗГЧ за мартингали.
пример за ''безобидни'' игри (от Фелер)
Ще разгледаме дискретния случай.
Нека {xn,n О N } е дискретен мартингал и F n = s{xm,m Ј n} е естествено породения от него поток от s-алгебри. Разглеждаме един предсказуем, неотрицателен и ограничен случаен процес {fn}, 0 Ј fn Ј M = const.
Ще дефинираме понятието мартингално преобразувание.
Определение 5
Казваме, че процеса
Yn
def
=
Yn-1 + fn (xn - xn-1), Y0 = x0
Теорема 2 Мартингално преобразувания процес е мартингал.
Доказателство.
Тъй като fn е F n-1-измерим
E (fn (xn - xn-1)| F n-1) = fn E (xn-xn-1| F n-1),
но {xn} е мартингал, откъдето 0 = E (xn-xn-1| F n-1).
Тогава E (Yn| F n-1) =
|
Мартингалното преобразувание има една интересна интерпретация.
Да разгледаме стохастичната игра:
Правят се независими хвърляния на правилна монета. Играчът получава +1 лв., ако се падне ''ези'' и съответно -1 лв., ако се падне ''тура''. Освен това той има право да пропусне ход на играта (т.е. да пасува). Играчът решава да пасува или да играе на следващия ход въз основа на резултатите от предишните и това решение представлява неговата стратегия.
Нека случайната величина Xn да означава състоянието на играча на n- тия ход, ако не пропуска ходове и отначало започва да играе с a, т.е. X0 = a.
Стохастичната игра се нарича безобидна, ако
|
Веднага се вижда, че {Xn} е мартингал, т.е. играта е безобидна, ако играчът не пропуска ходове (вж. Пример 1.).
Теорема 3 Както и да избира играчът стратегия играта остава безобидна.
Доказателство.
Нека следния процес представлява стратегията на играча
| ||||||
Да забележим, че състоянието на играча, ако прилага стратегията {fn}, е
|
Остава да приложим Теорема (10.2) откъдето получаваме, че {Yn} е мартингал и играта със стратегия също е безобидна. [¯]
Следващата теорема е много полезна. Тя е взаимствана заедно с доказателството от [2].
Теорема 4
Нека {Xn,n О N } е дискретен мартингал, а t и s са
ограничени марковски моменти, като s Ј t. Тогава
E (Xt| F s) = Xs, (10.2)
E Xt = E Xs. (10.3)
Доказателство.
Ще докажем първо (10.3) и чрез него ще докажем
(10.2).
Нека s Ј t Ј M = const, (по условие те са ограничени). Да разгледаме процеса fn = 1{s < n Ј t} = 1{n Ј t}-1{n Ј s}, за n = 1,2,ј. Ясно е, че {n Ј t} и {n Ј s} са F n-1-измерими, т.к. {n Ј t} = øИk = 1n-1{k = t}. Тогава {fn} е предсказуем, но той е ограничен и неотрицателен, т.к. s Ј t. Следователно можем да разгледаме мартингалното преобразувание (f·X)
|
|
|
|
|
От доказаното, като вземем предвид, че t и s са ограничени, получаваме (f·X)M- X0 = Xt - Xs, но мартингланото преобразувание {(f·X)} е мартингал, следователно
|
За (10.2) е достатъчно да се доже, че за произволно B О F s е изпълнено
|
| ||||||
| ||||||
|
Като следствие имаме:
Теорема 5
Нека {xt} е мартингал и F t = s{xs,s Ј t}.
Дадена е монотонно ненамаляваща редица от ограничени марковски моменти
( относно потока { F t})
t0 Ј t1 Ј t2 Ј ј Ј tn Ј ј.