Тема 9
Марковски моменти.

9.1  Определения

Разглеждаме едно основно вероятностно пространство < W, F ,Pr > . Нека е зададено семейство от s-подалгебри { F t,t О T Н R } изпълняващи свойствата:
1. за всеки s < t F s Н F t Н F
2. F t = Зt < u F u, т.е. непрекъснатост отдясно.

Фамилията { F t,t О T} се нарича поток от s-алгебри в F или още филтрация.

Нека {xt,t О T Н R } е случаен процес. Той се нарича съгласуван с филтрацията { F t}, ако xt е F t измерима за всяко t О T.

Задача*
Нека {xt} е непрекъснат отдясно с граници отляво. Покажете, че { F Ј t} е филтрация и процеса е съгласуван с нея1.

По нататък разглеждаме едно вероятностно пространство < W, F ,Pr > с филтрация { F t,t О T} като множеството T може да бъде интервал, крайно или избримо подмножество на R .

Определение 1 Случайната величина t се нарича марковски момент, ако за всяко t О T {t Ј t} О F t.

Задача

Докажете, че за дискретно време, т.е. когато множеството T е крайно или изброимо случайната величина t е марковски момент тогава и само тогава, когато

{t = t} О F t, за всяко t О T.

Твърдение 1 Докажете, че за непрекъснато време, T случайната величина t е марковски момент тогава и само тогава, когато

{t < t} О F t, за всяко t О T.

Доказателство.
Достатъчност
Нека t < tn+1 < tn и tn ® t, тогава {t Ј t} = Ґ
( З)
n = 1 
{t < tn}, но {t < tn} О F tn, следователно

m
З
n = 1 
 {t < tn} = {t < tm} О F tm.
Откъдето {t Ј t } О F tm, за всяко m и тогава от непрекъснатостта отдясно на филтрацията { F t} имаме
{t Ј t} О З F tn = F t.
Необходимост
Очевидно, ако tn < tn+1 < t и tn ® t, то
Ґ
И
n = 1 
 {t Ј tn} = {t < t},
но като имаме предвид, че {t Ј tn} О F tn Н F t, получаваме необходимостта. [¯]

Примери

1. Правиме независими хвърляния на монета за да проверим хипотезата:

H:
Pr
E 
 = Pr
{ пада се ези } =
Pr
T 
 = Pr
{ пада се тура } = 1/2.

Нека x1,x2,ј,xn са резултатите от експеримента, като

xk = м
н
о
1, паднало се е ези
-1, паднало се е тура
,
полагаме x0 = 0. Образуваме
hn = бр. ези до nти опит - бр. тура до nти опит = (x0+ј+xn)
и t = inf{k: |hk| і L}, за някое L > 0. Тогава случайния процес {hn,n О N } е съгласуван с потока { F n = s{x1,ј,xn}} и t е марковски момент.

2. t = t0 = const е марковски момент за произволна филтрация.

3. Нека процеса {xt,t О [a,b]} е съгласуван с { F t}, с п.с. непрекъснати отдясно траектории и U М R е отворено. Определяме

t = м
п
п
н
п
п
о

inf
t О [a,b] 
 { t: xt О U}
Ґ, ако "t, xt\not О U.
Тогава t е марковски момент.
Доказателство.
Според твърдение (9.1) достатъчно е да се докаже, че за всяко t,
{t < t} О F t.
Нека {sn,n О N } = [a,t)З Q са рационалните числа в интервала [a,t). Ще покажем, че
B def
=
 
И
n О N  
 {xsn О U} = {t < t}.
Наистина, ясно е, че B Н {t < t}. Обратно, ако w О {t < t}, то xs(w) О U за някое s < t. От непрекъснатостта отдясно на траекториите, като използваме, че U е отворено получаваме, че xsn(w) О U за достатъчно малко sn-s > 0. Това означава, че w О B за произволно w О {t < t}, т.е. {t < t} Н B.

Остава да забележим, че

B =
И
n О N  
 {xsn О U} О F t.
[¯]

4. В горния пример 3 , ако вместо отворено множество U се разглежда затворено множество G не се получава винаги марковски момент! [¯]

9.2  Свойства

Твърдение 2 Нека t е марковски момент, а C е положително число. Тогава t+C е също марковски момент.

Ако C < 0, то t+C не е непременно марковски момент!
Доказателство.

{t+C Ј t} = {t Ј t-C} О F t-C Н F t.
[¯]

Теорема 1 Нека t и s са марковски моменти. Тогава марковски моменти са:

tЩs def
=
 
 min
{t, s} и
tЪs def
=
 
 max
{t, s}

Доказателство.

{tЩs Ј t} =
{t < tЩs}
 
 , но
{t < tЩs} = {t < t} {t < s} О F t.
За tЪs е аналогично. [¯]

Определение 2 Нека t е марковски момент. Дефинираме съвкупността от измерими множества

F t def
=
 
 {A О F : за всяко t О T AЗ{t Ј t} О F t}.
Тя се нарича s-алгебра на марковския момент t.

Това, че F t е s-алгебра лесно се вижда. А когато марковския момент t = t0 = const горното определение дава s-алгебрата F t0 и не води до двусмисленост в означенията. Нещо повече, F t (както F t) може да се интерпретира, като събитията, настъпили до момента t. Чрез s-алгебрите съответстващи на марковските моменти идеята на филтрацията може да се развие.

Лема 1 Нека ј < tn+1 Ј tn < са марковски моменти и tn
( ®)
n®Ґ 
t. Тогава t е марковски момент и

F t =
З
n О N  
 F tn.

Тази лема показва, че свойството непрекъснатост отдясно на филтрацията може да се обобщи и за марковски моменти.
Доказателство.
Очевидно, че за призволно t имаме

{t Ј t} п.с.
=
 
З
n 
 {tn Ј t} О F t,
което показва, че t е марковски момент.

От подусловие а) на теорема (9.2) имаме, че F t Н F tn и следователно F t Н З F tn.

Обратно, нека A О З F tn, но тогава

AЗ{t Ј t} =
lim
n®Ґ 
З
m і n 
 AЗ{tm Ј t} О F t,
което показва, че A О F t и лемата е доказана. [¯]

Твърдение 3 Нека t е марковски момент и A О F t. Определяме

tA(w) = м
н
о
t(w), за w О A
Ґ, иначе.
Тогава tA е марковски момент.

Доказателство.
За произволно t имаме

{tA Ј t} = { t Ј t}ЗA, но
по определение от A О F t следва { t Ј t}ЗA О F t. [¯]

Марковските моменти притежават много полезни и прости свойства, част от които бяха разгледани. Следващото свойство е много важно.

Теорема 2 Нека t и s са марковски моменти, тогава:
а) ако s Ј t, то F s Н F t.
б) ако A О F s, то AЗ{s Ј t} О F t.
в) ако g е F t-измерима и g і t, то g е марковски момент.

Доказателство.
а) ако A О F s, то за всяко t AЗ{s Ј t} О F t, но тъй като {s Ј t} = W получаваме

AЗ{t Ј t} = AЗ{t Ј t}З{s Ј t} = AЗ{s Ј t}З{t Ј t}.
Но AЗ{s Ј t} О F t и с това всичко е доказано.
б) нека t е произволно число, тогава
AЗ{s Ј t}З{t Ј t} = A З{s Ј t}З{s Ј t}З{t Ј t},
но A З{s Ј t} О F t. Ще покажем, че {s Ј t} О F t откъдето ще следва търсеното.

{s < t}З{t Ј t} =
И
q < p Ј t О Q  
 {s < q}З{p Ј t Ј t} О F t,
което показва, че {s < t} О F t.

С помощта на лема (9.1) лесно се доказва, че

{s Ј t} О F t.
Наистина
{s Ј t} =
lim
n®Ґ 
 {s < t+ 1
n
 },
но

lim
n®Ґ 
 {s < t+ 1
n
 } О Зn F t+1/n,
и съгласно лемата (9.1) Зn F t+1/n = F t.

в) {g Ј t} = {g Ј t}З{t Ј t}, но по условие имаме, че g е F t-измерима и следователно {g Ј t}З{t Ј t} О F t, с което всичко е доказано. [¯]

Твърдение 4 Ако t и s са марковски моменти, то
F tЗ F s = F tЩs и
{s < t} и {s Ј t} са F tЩs-измерими.

Доказателство.
Очевидно F tЩs Н F tЗ F s, тъй като tЩs Ј t и tЩs Ј s (вж. теорема (9.2).а).)

Обратно, нека A О F tЗ F s и t е произволно, тогава

AЗ{tЩs Ј t} = AЗ({t Ј t}И{s Ј t}) =
= ((AЗ{t Ј t})И(AЗ{s Ј t})) О F t,
защото AЗ{t Ј t} и AЗ{s Ј t} са F t-измерими. Това показва, че A О F tЩs и окончателно
F tЗ F s = F tЩs.

Нека A = {s < t} и B = {s Ј t}. Лесно се вижда, че A и B са F t-измерими. Наистина за произволно t

{s < t}З{t Ј t} = \Cups1 < s2 Ј t, рационални {s Ј s1}З{s2 Ј t Ј t} О F t.
За събитието B можем да повторим разсъжденията от теорема (9.2) и да се възползваме от лема (9.1).

Но тогава øA = {t Ј s} е F s-измеримо според току що доказаното, а следователно и A е F s-измеримо. Това показва, че A О F tЩs, за B е аналогично. [¯]

Теорема 3 Нека t и s са марковски моменти, а X е случайна величина с крайно очакване. Тогава

E (1{s < t}X| F t) = 1{s < t} E (X| F tЩs)
(9.1)
E (1{s Ј t}X| F t) = 1{s Ј t} E (X| F tЩs)
(9.2)
E ( E (X| F t)| F s) = E (X| F tЩs)
(9.3)

Интересно е да се разгледа величината xt, където {xt,t О T} е един съгласуван процес, а t- марковски момент.
Задача Докажете, че xt е случайна величина.

Определение 3 Нека {xt,t О T} е съгласуван процес, а t- марковски момент. Образуваме процеса

xtt(w) = xt(w)Щt(w).
Той се нарича спрян процес в момента t. Наистина за време t > t процеса приема стойност една и съща случайна величина xt.

Докажете коректността на определението и проверете, че спрения процес е също съгласуван (с основната филтрация).



Начало на лекцията | Съдържание

1 използвайте сепарабелността на процеса

File translated from TEX by TTH, version 2.10.
On 16 Jun 1999, 11:38.