Приложение A Допълнения
Мястото на тези допълнения е по-скоро в курса по
Вероятности 2. Тук са дадени само за пълнота.
A.1 Теорема на Каратеодори
Тук ще докажем тази знаменита теорема (1.1).
Теорема A.1
Ако една вероятност P , зададена върху буловата алгебра
F,
е непрекъсната в
, то тя е продължима еднозначно върху
s( F).
Определение A.1
Нека определим върху всички подмножества на W функцията
горна мярка:
µ(A) = inf{ P (B): BО F, AМ B}.
Горната мярка µ притежава следните важни и почти очевидни
свойства:
-
монотонност - " AМ B, µ(A)Јµ(B);
- изчислимост - " e>0, $
BО F: AМ B,
µ(B)-µ(A)<e ;
- полуадитивност (крайна или изброима)-
µ(Иi Ai) Ј Si µ(Ai);
- на F горната мярка µ съвпада с P и е
s-адитивна (и непрекъсната в
).
Докажете сами тези свойства.
Определение A.2
Да означим с R класа от подмножества BМ
W, за които е изпълнено равенството
Ясно е, че RЙ F
и µ(B)=P (B), когато BО F.
Лема A.1
За да принадлежи множеството B на R е
необходимо и достатъчно да бъде ''апроксимируемо'', т.е.
да съществуват редиците
{Bn+},{Bn-} О F такива, че:
Bn-М Bn+1- М B М Bn+1+М Bn+,
µ(Bn+)-µ(Bn-)= P (Bn+\ Bn-)
0.
Доказателство: Необходимост.
За всяко B по определение (A.1) съществува редица
BnО F такава, че BnЙ B и µ(B)= limn
P (Bn). Да означим с Bn+=Зi=1n Bi . Тогава
µ(B)=limn P (Bn+). Същото е валидно и за
B - $ BnО F: µ(B)=
limn P (Bn), BnЙB. Нека означим с
Bn-= Зi=1n Bi . Така получаваме,
че Bn- М B М Bn+. Тъй като BО R,
то µ(B)=1-µ(B) и
P (Bn-) µ(B), P (Bn+)Ї µ(B).
Достатъчността е очевидна:
1Ј µ(B)+µ( |
|
)Ј P (Bn+) + 1 -
P (Bn-) 1.
![](box.gif) |
Доказателство: (Теорема A.1.)
1.Да покажем, че R е алгебра.
R очевидно съдържа
W,
, както и допълнението на всяко множество
BО R. Нека
A,BО R.
Да означим с An+,Bn+, An-,Bn- някои апроксимиращи редици
на двете множества. Имаме очевидното включване:
An-З Bn-М AЗ B М An+З Bn+.
|
P (An+З Bn+) - P (An-З Bn-)= |
|
P (An+З Bn+) - P (An-З Bn+)+
P (An-З Bn+) - P (An-З Bn-)= |
|
P ((An+\ An-)З Bn+)+
P ((Bn+\ Bn-)З An-)Ј |
|
P (An+\ An-) +
P (Bn+\ Bn-) 0 |
Така множеството AЗ B е ''апроксимируемо'' и съгласно лема
A.1 AЗ BО R, а следователно, и
множествата AИ B, A + B, A\ BО R.
R е булова алгебра. От същите апроксимационни
сметки следва, че µ е адитивна функция на R:
P (An-)+P (Bn-)Ј µ(A+B)Ј µ(A)+µ(B)Ј
P (An+)+P (Bn+).
2. Да покажем сега, че R е и s-алгебра. Нека
{BnО R, Bn Й Bn+1 } е намаляваща
редица. Да означим с An= Bn\ Bn+1 .
Да означим с B=З Bn. От монотонността следва, че съществува
граница на намаляващата редица µ(Bn) и
µ(B)Јlimnµ(Bn). От полуадитивността следва, че
µ(B)+µ(B)і 1. От друга страна, от доказаната
вече адитивност получаваме (за всяко n):
|
µ(Ai)=µ(B1)-µ(Bn+1), т.е. |
|
|
µ(Ai)=µ(B1)- |
|
µ(Bn) . |
Тъй като
B=B1+Sn=1ҐAn ще получим:
µ(B)Ј 1-µ(B1)+Sn=1Ґµ(An)=
1-limn µ(Bn). Като съберем двете неравенства
получаваме:
µ(B)+µ(B)Ј 1 . Значи BО R.
3. За да покажем, че µ е s-адитивна, ще покажем, че е
непрекъсната в
и ще използуваме лема 1.1.
Нека {BnО R, BnЙ Bn+1 } е намаляваща
редица такава, че З Bn =
. Както и в предната
част получаваме, че µ(B)Ј limn µ(Bn+)=limn
µ(Bn-). Но З Bn-М З Bn =
. Тъй като
Bn-О F и µ = P , която е непрекъсната в
, получаваме µ(B)Ј limn P (Bn-)=0.
Тъй като FМ R, то и
s( F)М R. Единствеността на
така построената мярка върху s( F) следва от
нейната изчислимост от P . Лесно се получава и, че
R е пълна, т.е. съдържа подмножествата на множества
с нулева горна мярка. ![](box.gif)
A.2 Проектори. Определения и свойства
В тази секция ще разгледаме проекторите -- най-простите и
най-използувани в математиката преобразования.
Определение A.3
Нека P е преобразование на множеството X в себе си.
Казваме, че P е проектор, ако P2=P . Понякога това свойство
се нарича идемпотентност.
От това следват следните свойства:
-
Множеството X се разпада на две непресичащи се
подмножества: X = PX + PX ;
- PX №
;
- ако PX=
, т.е. (PX=X) , то P=I;
- траекториите на P съдържат най-много два различни
елемента - единият е винаги в PX , другият - в PX ;
Теорема A.2
Ако P и Q са комутиращи проектори (PQ=QP), то
-
PQ е проектор;
- (PQ) X = QX З PX .
Доказателство: 1.(PQ) (PQ) = P Q2 P= P Q P= P2 Q= P Q.
2. Следователно, " xО X е изпълнено: QP xО QX, PQ
xО Px . Т.е. PQ X М PX З QX .
Нека сега p О PX З QX . Тогава Pp=p, Qp=p .
Но тогава PQ p = p , значи pО PQ X .
Значи Q X З P XМ PQ X.
![](box.gif)
Теорема A.3
Нека сега X е векторно пространство и P е линеен
оператор (P(ax)=a Px, P(x+y)=Px+Py ) и проектор.
Тогава:
-
Образът PX е линейно подпространство;
- ядрото NP={x:Px=0} е линейно подпространство;
- Q=I-P е проектор, QP=PQ=0 , QX=NP;
- за всеки комутиращ с P проектор Q имаме, че
P-QP,Q-QP са проектори.
Доказателство: 1. Нека x,yО PX . Тогава P(a x+ b x) = a Px +
bPy=ax+by .
2. Нека x,yО NP. Тогава P(a x+ b x) = a Px +
bPy=0.
3. Нека Qx=x-Px=(I-P)x ,P(I-P)= P- P2= 0.
Тогава Q2=(I-P)(I-P)=I- 2*P+P=I-P .
4. Ако QP = PQ , то
(I-P)Q=Q(I-P),
(I-Q)P=P(I-Q),
(I-P)(I-Q)=(I-Q)(I-P).
![](box.gif)
Нека сега X е Хилбертово пространство и
с (x,y) сме означили скаларното произведение в X.
Определение A.4
Линеен самоспрегнат ((Px,y)=(x,Py) ) проектор се
нарича ортогонален.
Теорема A.4
За да бъде линеен проектор P в Хилбертовото
пространство X самоспрегнат е необходимо и достатъчно
PX и (I-P)X=NP
да са ортогонални линейни подпространства: (Px,(I-P)y)=0;
Доказателство: Необходимост.
(Px,(I-P)y)=(x,P(I-P)y)=0;
Достатъчност.
Следователно,
||P-H||2= sup||y||Ј 1 ((P-H)x,y) = 0.
![](box.gif)
Пример A.1
Не ортогонален проектор.
Да разгледаме матрицата
като линеен оператор в X=R2. Очевидно е, че Z2=Z.
Но
и тези две едномерни подпространства не са ортогонални.
Теорема A.5
Нека Z е линейно подпространство на X. За всяко xО X
да означим с H:X
Z преобразованието
H е ортогонален проектор.
Доказателство: Очевидно преобразованието H е проектор.
Трябва да покажем, че H е равен на своя спрегнат H*, който се
определя така: " x,y О X, (Hx,y)=(x,H*y).
Нека yО X. Можем да го запишем във вида
y=(I-P)y+Py=y1+y2,
където y1=О NP, y2О PX.
Имаме:
|
((P-H)x,y) = ((P-H)x,y1) +((P-H)x,y2) = |
|
(Px,y1)-(Hx,y1)+(Px,y2) -(Hx,y2)= |
|
(Px,y1)-(x,Py1) +(Px,y2) -(x,Py2)= |
|
(Px,(I-P)y) -0 -(Px,Py)-(x,Py)= |
|
(Px,(I-P)y)+ ((P-I)x,Py)=0. |
Следователно,
||P-H||2= sup||y||Ј 1 ((P-H)x,y) = 0.
Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002