Приложение A Допълнения

Мястото на тези допълнения е по-скоро в курса по Вероятности 2. Тук са дадени само за пълнота.

A.1 Теорема на Каратеодори

Тук ще докажем тази знаменита теорема (1.1).

Теорема A.1 Ако една вероятност P , зададена върху буловата алгебра F, е непрекъсната в

, то тя е продължима еднозначно върху s( F).

Определение A.1 Нека определим върху всички подмножества на W функцията горна мярка:

µ(A) = inf{ P (B): BО F, AМ B}.

Горната мярка µ притежава следните важни и почти очевидни свойства:

монотонност - " AМ B, µ(A)Јµ(B);
изчислимост - " e>0, $ BО F: AМ B, µ(B)-µ(A)<e ;
полуадитивност (крайна или изброима)- µ(И_i A_i) Ј S_i µ(A_i);
на F горната мярка µ съвпада с P и е s-адитивна (и непрекъсната в ).

Докажете сами тези свойства.

Определение A.2 Да означим с R класа от подмножества BМ W, за които е изпълнено равенството

1 = µ(B) + µ(

Ясно е, че RЙ F и µ(B)=P (B), когато BО F.

Лема A.1 За да принадлежи множеството B на R е необходимо и достатъчно да бъде ''апроксимируемо'', т.е. да съществуват редиците {B_n⁺},{B_n^-} О F такива, че:

B_n^-М B_n+1^- М B М B_n+1⁺М B_n⁺, µ(B_n⁺)-µ(B_n^-)= P (B_n⁺\ B_n^-)

Доказателство: Необходимост. За всяко B по определение (A.1) съществува редица B_nО F такава, че B_nЙ B и µ(B)= lim_n P (B_n). Да означим с B_n⁺=З_i=1ⁿ B_i . Тогава µ(B)=lim_n P (B_n⁺). Същото е валидно и за B - $ B_nО F: µ(B)= lim_n P (B_n), B_nЙB. Нека означим с B_n^-= З_i=1ⁿ B_i . Така получаваме, че B_n^- М B М B_n⁺. Тъй като BО R, то µ(B)=1-µ(B) и P (B_n^-) µ(B), P (B_n⁺)Ї µ(B).

Достатъчността е очевидна:

1Ј µ(B)+µ(

)Ј P (B_n⁺) + 1 - P (B_n^-)

Доказателство: (Теорема A.1.)
1.Да покажем, че R е алгебра. R очевидно съдържа W,

, както и допълнението на всяко множество BО R. Нека A,BО R. Да означим с A_n⁺,B_n⁺, A_n^-,B_n^- някои апроксимиращи редици на двете множества. Имаме очевидното включване: A_n^-З B_n^-М AЗ B М A_n⁺З B_n⁺.

	P (A_n⁺З B_n⁺) - P (A_n^-З B_n^-)=
	P (A_n⁺З B_n⁺) - P (A_n^-З B_n⁺)+ P (A_n^-З B_n⁺) - P (A_n^-З B_n^-)=
	P ((A_n⁺\ A_n^-)З B_n⁺)+ P ((B_n⁺\ B_n^-)З A_n^-)Ј
	P (A_n⁺\ A_n^-) + P (B_n⁺\ B_n^-) 0

Така множеството AЗ B е ''апроксимируемо'' и съгласно лема A.1 AЗ BО R, а следователно, и множествата AИ B, A + B, A\ BО R. R е булова алгебра. От същите апроксимационни сметки следва, че µ е адитивна функция на R:

P (A_n^-)+P (B_n^-)Ј µ(A+B)Ј µ(A)+µ(B)Ј P (A_n⁺)+P (B_n⁺).

2. Да покажем сега, че R е и s-алгебра. Нека {B_nО R, B_n Й B_n+1 } е намаляваща редица. Да означим с A_n= B_n\ B_n+1 . Да означим с B=З B_n. От монотонността следва, че съществува граница на намаляващата редица µ(B_n) и µ(B)Јlim_nµ(B_n). От полуадитивността следва, че µ(B)+µ(B)і 1. От друга страна, от доказаната вече адитивност получаваме (за всяко n):

i=1

µ(A_i)=µ(B₁)-µ(B_n+1), т.е.

i=1

µ(A_i)=µ(B₁)-

lim

µ(B_n) .

Тъй като B=B₁+S_n=1^ҐA_n ще получим: µ(B)Ј 1-µ(B₁)+S_n=1^Ґµ(A_n)= 1-lim_n µ(B_n). Като съберем двете неравенства получаваме: µ(B)+µ(B)Ј 1 . Значи BО R.

3. За да покажем, че µ е s-адитивна, ще покажем, че е непрекъсната в

и ще използуваме лема 1.1. Нека {B_nО R, B_nЙ B_n+1 } е намаляваща редица такава, че З B_n =

. Както и в предната част получаваме, че µ(B)Ј lim_n µ(B_n⁺)=lim_n µ(B_n^-). Но З B_n^-М З B_n =

. Тъй като B_n^-О F и µ = P , която е непрекъсната в

, получаваме µ(B)Ј lim_n P (B_n^-)=0.

Тъй като FМ R, то и s( F)М R. Единствеността на така построената мярка върху s( F) следва от нейната изчислимост от P . Лесно се получава и, че R е пълна, т.е. съдържа подмножествата на множества с нулева горна мярка.

A.2 Проектори. Определения и свойства

В тази секция ще разгледаме проекторите -- най-простите и най-използувани в математиката преобразования.

Определение A.3 Нека P е преобразование на множеството X в себе си. Казваме, че P е проектор, ако P²=P . Понякога това свойство се нарича идемпотентност.

От това следват следните свойства:

Множеството X се разпада на две непресичащи се подмножества: X = PX + PX ;
PX № ;
ако PX=, т.е. (PX=X) , то P=I;
траекториите на P съдържат най-много два различни елемента - единият е винаги в PX , другият - в PX ;

Теорема A.2 Ако P и Q са комутиращи проектори (PQ=QP), то

PQ е проектор;
(PQ) X = QX З PX .

Доказателство: 1.(PQ) (PQ) = P Q² P= P Q P= P² Q= P Q.
2. Следователно, " xО X е изпълнено: QP xО QX, PQ xО Px . Т.е. PQ X М PX З QX .
Нека сега p О PX З QX . Тогава Pp=p, Qp=p . Но тогава PQ p = p , значи pО PQ X . Значи Q X З P XМ PQ X.

Теорема A.3 Нека сега X е векторно пространство и P е линеен оператор (P(ax)=a Px, P(x+y)=Px+Py ) и проектор. Тогава:

Образът PX е линейно подпространство;
ядрото N_P={x:Px=0} е линейно подпространство;
Q=I-P е проектор, QP=PQ=0 , QX=N_P;
за всеки комутиращ с P проектор Q имаме, че P-QP,Q-QP са проектори.

Доказателство: 1. Нека x,yО PX . Тогава P(a x+ b x) = a Px + bPy=ax+by .
2. Нека x,yО N_P. Тогава P(a x+ b x) = a Px + bPy=0.
3. Нека Qx=x-Px=(I-P)x ,P(I-P)= P- P²= 0. Тогава Q²=(I-P)(I-P)=I- 2*P+P=I-P .
4. Ако QP = PQ , то (I-P)Q=Q(I-P), (I-Q)P=P(I-Q), (I-P)(I-Q)=(I-Q)(I-P).

Нека сега X е Хилбертово пространство и с (x,y) сме означили скаларното произведение в X.

Определение A.4 Линеен самоспрегнат ((Px,y)=(x,Py) ) проектор се нарича ортогонален.

Теорема A.4 За да бъде линеен проектор P в Хилбертовото пространство X самоспрегнат е необходимо и достатъчно PX и (I-P)X=N_P да са ортогонални линейни подпространства: (Px,(I-P)y)=0;

Доказателство: Необходимост. (Px,(I-P)y)=(x,P(I-P)y)=0;

Достатъчност. Следователно, ||P-H||²= sup_{||y||Ј 1} ((P-H)x,y) = 0.

Пример A.1 Не ортогонален проектор.

Да разгледаме матрицата

ж
и

1	1
0	0

ц
ш

като линеен оператор в X=R². Очевидно е, че Z²=Z. Но

ZX =

ж
и

ц
ш

, N_P=

ж
и

-x

ц
ш

и тези две едномерни подпространства не са ортогонални.

Теорема A.5 Нека Z е линейно подпространство на X. За всяко xО X да означим с H:X

Z преобразованието

x ѕ® argmin

zО Z

||z-x||.

H е ортогонален проектор.

Доказателство: Очевидно преобразованието H е проектор. Трябва да покажем, че H е равен на своя спрегнат H^*, който се определя така: " x,y О X, (Hx,y)=(x,H^*y). Нека yО X. Можем да го запишем във вида y=(I-P)y+Py=y₁+y₂, където y₁=О N_P, y₂О PX. Имаме:

	((P-H)x,y) = ((P-H)x,y₁) +((P-H)x,y₂) =
	(Px,y₁)-(Hx,y₁)+(Px,y₂) -(Hx,y₂)=
	(Px,y₁)-(x,Py₁) +(Px,y₂) -(x,Py₂)=
	(Px,(I-P)y) -0 -(Px,Py)-(x,Py)=
	(Px,(I-P)y)+ ((P-I)x,Py)=0.

Следователно, ||P-H||²= sup_{||y||Ј 1} ((P-H)x,y) = 0.

Д.Въндев -Теория на вероятностите - January 9, 2002