| Previous | Next | Contents |
Ще предполагаме, че за някой език на предикатното смятане, съдържащ двуместния предикатен символ eq, са дадени нормална структура S=(C,I) и редица от затворени термове t0, t1, t2, t3, ..., като са изпълнени следните две условия: а) C е множеството на естествените числа 0, 1, 2, 3, ...; б) за всяко c от C стойността на терма tc в S е равна на c (от последното условие е ясно, че термовете tc, отговарящи на различни стойности на c, трябва да бъдат различни помежду си).1 Да вземем някоя променлива x и да означим с M множеството, състоящо се от всички затворени формули, които са верни в S, и от формулите Ш(x=t0), Ш(x=t1), Ш(x=t2), Ш(x=t3), ... Лесно се вижда, че всяко крайно подмножество на M е изпълнимо в предикатното смятане с равенство. И наистина, ако K е крайно подмножество на M, то ще съществува такова c от C, че съответната формула Ш(x=tc) да не принадлежи на K, и при това положение една нормална конфигурация, удовлетворяваща K, ще бъде конфигурацията (S,v), където v е такава оценка в S на променливите, че v(x)=c. Теоремата за компактност за предикатното смятане с равенство позволява да заключим, че и цялото множество M е изпълнимо в предикатното смятане с равенство. Да разгледаме сега някоя нормална конфигурация (S^,v^), удовлетворяваща M. В известен смисъл, който сега ще разясним, структурата S^ може да се разглежда като една нестандартна система на естествените числа.
Нека S^=(C^,I^). За всяко естествено число c да означим с c^ стойността на терма tc в структурата S^. Така дефинираните елементи c^ образуват едно същинско подмножество на носителя C^ на S^. Като пример за елемент на C^, непринадлежащ на това подмножество, можем да посочим елемента v^(x) - за всяко c от C имаме неравенството v^(x)№c^ благодарение на това, че формулата Ш(x=tc) от M е вярна в нормалната конфигурация (S^,v^). Ще покажем, че елементите c^, отговарящи на различни естествени числа c, са различни помежду си. И наистина нека c и d са две различни естествени числа. Тогава затворената формула Ш(tc=td) принадлежи на M и следователно е вярна в S^. Тъй като структурата S^ е нормална, това показва, че стойностите c^ и d^ в нея на термовете tc и td са различни помежду си. И така, налице е взаимно еднозначно съответствие между естествените числа и съпоставените им по този начин елементи на множеството C^. При това с елементите c^ в определен смисъл може да се работи по същия начин както с естествените числа c, на които са съответни. По-точно, ако w е n-местен функционален символ, където n е положително цяло число, то всеки път, когато дадени c1, ..., cn, d от C са свързани с равенството I(w)(c1,...,cn)=d, ще имаме и равенството I^(w)(c1^,...,cn^)=d^, понеже затворената формула w(tc1,...,tcn)=td ще принадлежи на множеството M и поради това ще бъде вярна в S^. Аналогично се вижда, че ако w е нулместен функционален символ и имаме равенството I(w)=d, където d е дадено естествено число, то ще имаме и равенството I^(w)=d^. Подобни неща важат и за интерпретациите в S и в S^ на предикатните символи: всеки път, когато p е n-местен предикатен символ, n е положително цяло число и c1, ..., cn са естествени числа, имаме равенството I(p)(c1,...,cn)=I^(p)(c1^, ...,cn^), а за всеки нулместен предикатен символ p е в сила равенството I(p)=I^(p). За да докажем това, най-напред отбелязваме, че за всяка затворена формула j е изпълнено равенството jS=jS^. Действително, ако лявата страна на това равенство е 1, то jОM и следователно j е вярна в S^, тъй че и дясната страна ще бъде 1, а ако лявата страна е 0, то затворената формула Шj принадлежи на M и значи е вярна в S^, поради което и дясната страна ще бъде 0. За да получим оттук формулираната връзка между интерпретациите в S и в S^ на предикатните символи, достатъчно е в качеството на j да вземем формулата p(tc1,...,tcn) в първия случай и формулата p във втория. Ако отъждествим естествените числа със съответните им елементи на C^, бихме могли да считаме, че структурата S^ представлява едно разширение на структурата S, като в носителя C^ на S^ освен естествените числа има и други елементи (можем да ги наречем "нестандартни естествени числа"), но въпреки това свойствата на S и на S^, които се изразяват посредством затворени формули на дадения език на предикатното смятане са едни и същи (например ако едно уравнение, на което двете страни се представят чрез термове на този език, няма решение в структурата S, то няма да има решение и в структурата S^).
В заключение нека отбележим, че с незначителни изменения горните разглеждания могат да се направят и в по-общия случай, когато е дадена произволна нормална структура S с безкраен носител, на който всеки елемент е стойност на някой затворен терм.2
Бележки
1 Например между функционалните символи на езика би могло да има два нулместни,
на които стойностите в S са съответно числата 0 и 1, и един двуместен,
който се интерпретира в S като операцията събиране, при което споменатата редица
от затворени термове да съответства на представянето на последователните
естествени числа във вида 0, 1, 1+1, (1+1)+1, ...
2 При нашия подход към предикатното смятане това обобщение не е особено съществено, защото и в споменатия по-общ случай носителят на S би се оказал изброим. Възможен е обаче и такъв друг подход, при който да е допустимо да има неизброимо много различни затворени термове, и тогава вече обобщението ще обхваща многобройни случаи, съществено различни от разгледания.
Последно изменение: 9.01.2001 г.
| Previous | Next | Contents |