| Previous | Next | Contents |
Първо ще дефинираме индуктивно понятието молекула), като всички молекули ще бъдат думи над азбуката A, разширена със знаците "(", ")", "[", "]", "<", ">", ",", "Ш", "&" и "Ъ". Дефиницията се състои от следните приемания, като в третото от тях под "двувалентни логически знаци" разбираме знаците "&" и "Ъ":
М1. Всяка атомарна формула е молекула.
М2. Ако j е молекула, то думата Шj също е молекула.
М3,4. Ако думите j1, j2, ..., jn, където nі2, са молекули, а g1, g2,
..., gn-1 са двувалентни логически знаци, то думaтa (j1g1j2g2...gn-1jn) също е
молекула.
М5. Ако j е молекула, а x е променлива, то думата [x]j също е молекула.
М6. Ако j е молекула, а x е променлива, то думата <x>j също е молекула.
С очевидна индукция се показва, че всяка формула е и молекула. Обратното твърдение разбира се не е вярно - например дума от вида (a&a&a), където a е атомарна формула, представлява молекула, но не е формула.
Двете леми, с помощта на които доказахме еднозначността на синтактичния анализ на формулите, остават в сила и за молекулите. Като използваме така получената по-обща форма на лемите, лесно можем да се убедим, че и при молекулите имаме еднозначност на синтактичния анализ.
Да наречем квазиформули думите от вида j1g1j2g2...gn-1jn, където nі1 (при n=1 считаме, че думата е j1), j1, j2, ..., jn са молекули, а g1, g2, ..., gn-1 са двувалентни логически знаци. Съобразява се, пак с помощта на обобщените две леми, че и квазиформулите имат еднозначен синтактичен анализ.
Ние ще разглеждаме квазиформулите (в частност молекулите) като съкратени
записи на формули. За целта ще дадем индуктивна дефиниция кога една квазиформула
е съкращение за дадена формула:1
С1. Всяка атомарна формула е съкращение за себе си.
С2. Ако j е молекула и j е съкращение за дадена формула jў, то молекулата
Шj е съкращение за формулата Шjў.
С3. Ако думите j1, j2, ..., jn, където nі2, са молекули, квазиформулата
j1&j2&...&jn-1 е съкращение за дадена формула q, а молекулата jn е съкращение
за дадена формула c, то квазиформулата j1&j2&...&jn-1&jn е съкращение за формулата
(q&c).
С4. Ако думите j1, j2, ..., jn, където nі2, са молекули, k е някое от числата
1, 2, ..., n-1, квазиформулата j1g1j2g2...gk-1jk, където g1, g2, ...,
gk-1 са двувалентни логически знаци, е съкращение за дадена формула q, а квазиформулата
jk+1&...&jn е съкращение за дадена формула c, то квазиформулата
j1g1j2g2...gk-1jkЪjk+1&...&jn е съкращение за формулата (qЪc).
С5. Ако j е молекула, която е съкращение за дадена формула jў, а x е променлива,
то молекулата [x]j е съкращение за формулата [x]jў.
С6. Ако j е молекула, която е съкращение за дадена формула jў, а x е променлива,
то молекулата <x>j е съкращение за формулата <x>jў.
С7. Ако думите j1, j2, ..., jn, където nі2, са молекули, g1, g2, ..., gn-1
са двувалентни логически знаци и квазиформулата j1g1j2g2...gn-1jn е съкращение
за дадена формула q, то молекулата (j1g1j2g2...gn-1jn) също е съкращение за q.
Пример. Ако a1, a2, a3, a4, a5, a6 са атомарни формули, то квазиформулата (a1Ъa2)&(a3&a4Ъa5&a6) е съкращение за формулата ((a1Ъa2)&((a3&a4)Ъ(a5&a6))). Действително, a1Ъa2 е съкращение за формулата (a1Ъa2) съгласно С1 и С4, a3&a4 и a5&a6 са съкращения съответно за формулите (a3&a4) и (a5&a6) съгласно С1 и С3, откъдето по С4 получаваме, че a3&a4Ъa5&a6 е съкращение за формулата ((a3&a4)Ъ(a5&a6)). Прилагайки С7, заключаваме, че и молекулите (a1Ъa2) и (a3&a4Ъa5&a6) също са съкращения съответно за (a1Ъa2) и за ((a3&a4)Ъ(a5&a6)), а оттук изказаното в началото твърдение се получава по С3.
С индукция, съобразена с индуктивната дефиниция на понятието формула, се вижда лесно, че всяка формула е съкращение за себе си. Еднозначният синтактичен анализ на молекулите и на квазиформулите позволява да докажем, че произволна квазиформула е съкращение точно на една формула (доказателството може да се извърши с помощта на индукция относно дължината на разглежданата квазиформула, като индуктивната стъпка представлява доказателство, че ако всички квазиформули с дължина, по-малка от дадено число, имат доказваното свойство, то това свойство е налице и за квазиформулите с дължина, равна на даденото число).
Оттук нататък, допускайки волност на езика, понякога, вместо да говорим за дадена формула, ние ще си позволяваме да говорим за някоя квазиформула, която е нейно съкращение - например да казваме "формулата (a1Ъa2)&(a3&a4Ъa5&a6)", вместо да казваме "формулата, имаща съкращение (a1Ъa2)&(a3&a4Ъa5&a6)" или "формулата ((a1Ъa2)&((a3&a4)Ъ(a5&a6)))".
Бележка
1 В дефиницията са залегнали следните три идеи: а) разрешава се да се изпускат
най-външните скоби, които идват от образуването на конюнкция или дизюнкция;
б) приема се, че отрицанието и квантификацията имат приоритет пред
операцията конюнкция, а тя пък - пред операцията дизюнкция; в) операциите конюнкция
и дизюнкция се извършват по реда им отляво надясно, когато скоби или
съображения за приоритет не определят друг ред на извършването им.
Последно изменение: 9.01.2001 г.
| Previous | Next | Contents |