Лекция 10
Многомерен анализ

Ресултатите от тази лекция в много по-добър вид могат да се намерят в книгата на [Климов, 1975], където са дадени много най-различни примери на използуването на разпределението на Уишарт в статистиката.

10.1  Разпределение на Уишарт

Това е едно естествено многомерно матрично обобщение на c2 разпределението. Нека Pp М Rp xp е множеството от положително определени матрици. Нека S О Pp.

Определение 1 Нека x = {x1,x2,...,xn}ў и xk О N(0,S) са независими. Тогава сл.в. h = xўx приема стойности в Pp. Нейното разпределение се нарича разпределение на Уишарт Wp(S,n) и то притежава следната плътност върху Pp:

p(X,S,n) = C(n,p)-1|X|(n-p-1)/2|S|-n/2exp(- 1
2
 tr( S-1 X)),
(10.1)
където X О Pp и C(n,p) е нормираща константа:
C(n,p) = 2np/2pp(p-1)/4 p-1
Х
 i = 0 
 G((n-i)/2).
(10.2)

Лесно се пресмята м.о. E h = n S.

Когато p = 1, S = s2 О Pp = R1+. Получаваме, че W1(S,n) = s2c2n.

С.в. h е неизродена матрица (с вероятност 1) и нейната обратна също е такава h-1 О Pp. Нейното разпределение се нарича обратно разпределение на Уишарт IWp(S,n) и то притежава следната плътност върху Pp:

p(X,S,n) = C(n,p)-1|X|-(n+p+1)/2|S|-n/2exp(- 1
2
 tr( S-1 X-1)),
(10.3)
където X О Pp и C(n,p) е същата нормираща константа.

Лесно се пресмята м.о. E h-1 = S-1/(n-p-1). То съществува само, ако n > p+1.

Ще изведем формула (10.1) съгласно книгата [Гирко, 1975].

Лема 1 За всяко A О Pp е изпълнена следната формула:

у
х

x О Rp 
 e-xўA x dx = pn/2 |A|-1/2.
(10.4)

Доказателство: Достатъчно е да приведем в диагонален вид A = UўL U. Q.E.D.

Нека сега C е само симетрична реална матрица и разгледаме симетричната комплексна матрица A+iC. И за нея е изпълненo същото равенство 10.4.

Лема 2 За всяко k > (n+1)/2, "A,B О Pp е изпълнена следната формула:

(2p)p(p+1)/2 у
х

C 
 e-i tr(B C) |A-i C|k d C =
(10.5)
e-tr(B A) |B|k-(p+1)/2 (4p)-p(p-1)/2 p
Х
 m = 1 
 (G(k-(m-1)/2)-1 .
Тук интегрирането е по всичките p(p+1)/2 елемента на симетричната матрица C.

Доказателство: Правим смяна на променливите: S = A - i C . Тогава лявата страна на формула (10.5) става e-tr(B A)J, където

J = (2pi)p(p+1)/2 у
х

S 
 etr(B S) |S|-k dS.

Тук интегрирането е по елементите на симетричната матрица si,j О ai,j+i(-Ґ,+Ґ). Ще покажем, че

J = |B|k-(p+1)/2 (4p)-p(p-1)/2 p
Х
 m = 1 
 (G(k-(m-1)/2)-1 .
(10.6)

Сега ще използуваме наготово формулата (изпълнена при 0 < a,1 < k ):

1
2pi
 у
х 		a+iҐ

a-iҐ 
 ec x x-k dx = м
н
о
ck-1/G(k),
0 < c
0,
c Ј 0.
(10.7)
При p = 1 от формула (10.7) следва търсената формула. Нека сега формула (10.6) е изпълнена за някое p. Тъй като матрицата Re Sp е положително определена, то

|Sp| = |Sp-1|(sp,p- sўS-1p-1s),
където sў = {s1,p,...,sp-1,p} е последния стълб на Sp, а b - съответно на Bp. Заместваме в (10.6) и получаваме

J = (2pi)p(p+1)/2 у
х 		eTr(Bp-1 Sp-1 |Sp-1|-ke2 bўs x
ebp,p sp,p(sp,p- sўS-1p-1s)k
Х
 p і l 
 dsp,l.

Да направим смяна на променливите:

sp,p = y + sўS-1p-1s.
Ще използуваме формула (10.7) за да интегрираме по y. Получаваме:
J = у
х 		ap ebp,psўS-1p-1s+2 bўs
Х
 p і l 
 dsp,l,
ap = (2 pi)-(p(p+1)-2)/2 bp,pk-1
G(k)
 etr (Bp-1 Sp-1) |Sp-1|-k.
Сега можем да диагонализираме матрицата Sp-1-1 = UL Uў и да заменим променливите s = Ux и xk = yk/Ц{lk bp,p}. Получаваме

J = у
х 		ap |bp,pS-1p-1|-1/2e||y||2+2 bўUx
Х
 p і l 
 dsp,l Х
 		dyl,
Поради това, че Re Sp-1 е положително определна след интегрирането по y, получаваме

J = (iЦ
p
 
 )p-1 у
х 		ap bp,p(p-1)/2|S-1p-1|-1/2eеp-1k = 1 (еp-1l = 1 bl,p tk,p/Ц{lk bp,p} )2
Х
 p і l 
 dsp,l =
=
bp,p-(p-1)/2+k-1
(2pi)(n(n+1)/2-1G(k)
 |Dp-1|k-(p+1)/2,
(10.8)
където Dp-1 = { bi,j - [(bi,p bi,p)/( bp,p)]} е положително определена. Това се вижда от факта, че квадратичната форма xўDp-1x + bp,pxp2 с помощта на преобразованието x = y и xp = bўy може да се представи във вида yўD y. Следователно, |Bp| = bp,p|Dp-1|. Q.E.D.

Теорема 1 Нека x = {x1,x2,...,xn}ў и xk О N(0,S) са независими. Тогава сл.в. h = xўx има разпределение от вида (10.1).

Доказателство: Да разгледаме характеристичната функция на разпределението (10.1).

f(T) = E e i tr(xxўT),
където T е симетрична матрица. Поради независимостта
f(T) = (E e i tr(x1xў1 T))n = |S|n/2
|S-1-2i T)n/2
Като използуваме формулата за обръщане на х.ф., получаваме:
p(X,S,n) = (2p)-p(p+1)/2 у
х 		e-i tr(TX) |S|n/2
|S-1-2i T)n/2
Х
 k і l 
 dsk,l.

От лема 10.2 следва твърдението на теоремата. Q.E.D.

10.2  Следствия

С помощта на разпределението на Уишарт лесно се строят многомерни тестове за нормалност. Нека разгледаме различни функции на извадачната ковариационна матрица.

Теорема 2 Детерминантата на извадъчната ковариационна матрица (разпределението на |xxў| ) има плътност като

|S| p
Х
 i = 1 
 c2n+1-i.

Доказателство: Пресмятат се моментите на |xxў|. Плътността се възстановява еднозначно по тях. Q.E.D.

Теорема 3 Ако матриците AўA О Wp(S,n) , BўB О Wp(S,m) , AўA^BўB и m,n > p, то

  1. матрицата AўA + BўB О Wp(S,n+m).
  2. числото [(|AўA|)/( |AўA + BўB|)] е разпределено като произведението Хpi = 1 bi, където bi О B([(n+1-i)/ 2],m/2) са независими.



Начало на лекцията | Съдържание | Индекс

File translated from TEX by TTH, version 2.10.
On 4 Jun 1999, 15:57.