Определение 1 Нека P е преобразование на множеството X в себе си. Казваме, че P е проектор, ако P2 = P . Понякога това свойство се нарича идемпотентност.
От това определение следват следните свойства:
Теорема 1
Ако P и Q са комутиращи проектори (PQ = QP), то
2. Следователно, "x О X е изпълнено: QP x О QX, PQx О Px . Т.е. PQ X М PX ЗQX .
Нека сега p О PX ЗQX . Тогава Pp = p, Qp = p .
Но тогава PQ p = p , значи p О PQ X .
Значи Q X ЗP X М PQ X.
Q.E.D.
Теорема 2
Нека сега X е векторно пространство
(над полето на реалните числа)
и P е линеен
оператор (P(ax) = a Px, P(x+y) = Px+Py ) и проектор.
Тогава:
2. Нека x,y О NP. Тогава P(a x+ b x) = a Px +bPy = 0.
3. Нека Qx = x-Px = (I-P)x,P(I-P) = P- P2 = 0.
Тогава Q2 = (I-P)(I-P) = I- 2*P+P = I-P .
4. Ако QP = PQ , то
(I-P)Q = Q(I-P),
(I-Q)P = P(I-Q),
(I-P)(I-Q) = (I-Q)(I-P).
Q.E.D.
Нека сега X е хилбертово пространство (пак над полето на реалните числа) и с (x,y) сме означили скаларното произведение в X.
Определение 2 Линеен самоспрегнат ((Px,y) = (x,Py) ) проектор се нарича ортогонален.
Теорема 3 За да бъде линеен проектор P в хилбертовото пространство X самоспрегнат е необходимо и достатъчно PX и (I-P)X = NP да са ортогонални линейни подпространства: (Px,(I-P)y) = 0, "x,y;
Доказателство: Необходимост. (Px,(I-P)y) = (x,P(I-P)y) = 0;
Достатъчност. Нека y О X. Можем да го запишем във вида y = (I-P)y+Py = y1+y2, където y1 = О NP, y2 О PX. Нека H = P*. Имаме:
| ||||||
Пример 1 Не ортогонален проектор.
Да разгледаме матрицата
| ||||||||||||
като линеен оператор в X = R2. Очевидно е, че Z2 = Z. Но
| |||||||||||||||
Теорема 4
Нека Z е линейно подпространство на X. За всяко x О X
да означим с H:X ® Z преобразованието
x ®
argmin
z О Z
||z-x||.
Доказателство: Очевидно преобразованието H е проектор. Да допуснем, че е изпълнено неравенството d = (Hx,(I-H)y) № 0 за някакви x,y. Да запишем x = Hx, y = (I-H)y, z = x+y. Имаме
|
|
Теорема 5 Нека е зададена редица Hn от ортогонални проектори в хилбертовото пространство X, такава че подпространствата им монотонно нарастват: Hn(X) М Hn+1(X). Тогава съществува единствен ортогонален проектор H, който е граница на тази редица в слаб смисъл (на норма на стойностите).
Доказателство: Нека означим Z0 = 0, Zn = Hn(X) и Z = ИZn. Очевидно Z е линейно подпространство на X. Нека H е ортогоналния проектор върху него. За всяко x О X имаме
|
|
|
Да разгледаме вероятностното пространство (W,A,P ) и линейното пространство на сл.в. определени на него.
М.о. може да се определи абстрактно. Всяка неотрицателна сл.в. x+ може да се представи като граница на монотонно нарастваща редица от прости сл.в. x+ = limn xn = xn. Следователно, винаги съществува границата E x = limE xn, възможно равна на Ґ. Всяка сл.в. x може да се представи като сума x = x+ +x-. Така, ако и двете м.о. са крайни, можем спокойно да определим E x = E x+ + E x-.
Класовете еквивалентни с вероятност 1 сл.в. (к.е.сл.в.), зададени на дадено фиксирано вероятностно пространство (W,A,P ) образуват линейно пространство. Нека го означим с M = M(W,A,P ). Да разгледаме подмножествата Lr М M, (1 Ј r Ј Ґ) от сл.в. с краен r-ти абсолютен момент. Да напомним известното неравенство за моментите
| (2.1) |
Тъй като в Lr М M е в сила същото отношение на еквивалентност, к.е. сл.в. от съответните множества образуват пълни линейни нормирани пространства, ако за норма във всяко от тях служи: || x||r = (E |x|r)1/r. При това от неравенството (2.1) следва включването:
|
Особен интерес представлява пространството L2 от сл.в. с крайна дисперсия. То е хилбертово и скаларното произведение в него е (x,h) = E xh. Така центрираните сл.в., ако са независими, са ортогонални в L2 . Обратното твърдение не винаги е верно.
Когато вероятностното пространство е ЛР-пространство L2 е сепарабелно, т.е. има изброим базис.
Нека F М A и разделянето, което й съответствува e g. Да разгледаме подмножеството на L2 от сл.в.x, такива, че техните лебегови множества {x < x} О F. Те очевидно образуват линейно подпространство на L2. Проекторът върху това подпространство да означим с E g. Ще го наричаме условно м.о. при условие разделянето g, или s-алгебрата, която му съответствува.
Теорема 6
Пресмятането на условното м.о. може да се извърши по следния
начин:
Eg(x) =
у
х
w О C
x(w) dP C (2.2)
Доказателство: Достатъчно е да проверим за крайни разделяния gn, че горната формула дава проектор. Можем да построим редицата gn® g монотонно нарастваща и да се възползуваме от сходимостта в L2. Q.E.D.
В частност, ако означим с e разделянето, което съответствува на A и n = {Ж,W}, то E e = I, E n = E . Условното м.о. на всяка сл.в. x при условие крайното разделяне g е проста сл.в. с константни стойности върху елементите му.
Теорема 7 Условното м.о. е ортогонален проектор в хилбертовото пространство L2 .
Доказателство: Достатъчно е да го проверим за крайни разделяния. Q.E.D.
Така от тези две представяния на у.м.о. можем да извлечем всички необходими свойства. Ще се опитаме да ги подредим в следните теореми.
Теорема 8
Нека g е измеримо разделяне и
0 Ј x Ј h О L2.
Изпълнени са следните свойства:
(E g|x|r)1/r Ј (E g|x|k)1/k, "0 < r < k. (2.3)
Определение 3 Да означим с D g x = E g(x-E gx)2 условната дисперсия на x.
Теорема 9
Нека g < d и
x О L2g,
h О L2d,
q О L2.
Изпълнени са следните свойства:
Теорема 10
Нека g^d и
x О L2g,
h О L2d,
q О L2.
Изпълнени са следните свойства:
Теорема 11 Нека gn е нарастваща редица от измерими разделяния и g = supn gn. Тогава за всяка сл.в. x О L2 редицата E gnx е сходяща по норма в L2 към сл.в. E g x.
Доказателство: Директно следствие от теореми 2.5 и 2.7. Q.E.D.