Лекция 1
Измерими разделяния

1.1  Изоморфизми и класификация

Ще разглеждаме само вероятностни пространства със s-адитивна вероятност и разделяща точките и попълнена s-алгебра.

Теорема 1 Всяко вероятностно пространство има не повече от изброим брой атоми.

Доказателство: Броят атоми с вероятности по-големи от 1/n е не повече от n. Следователно те последователно могат да се отделят и номерират. Q.E.D.

Да напомним понятието изоморфизъм в теорията на мярката. Ще започнем със следното определение:

Определение 1 Изображението

(Тук T^-1 (B) означава пълен праобраз, т.е. T^-1 (B) = {w: T(w) О B}.)

Определение 2 Изображението

Така ако две вероятностни пространства са изоморфни, стават изоморфни и сл.в. зададени върху двете пространства. При този изоморфизъм очевидно стойностите им върху подмножества с мярка 0 нямат значение. Така вместо с конкретни функции ние се занимаваме с класове на еквивалентност.

Определение 3 Да означим Х(l_i) вероятностното пространство (X,A,P ):

• X е произведение от единични интервали в количество кардиналността на числото l_i.
• A е породена от цилиндрически множества с крайни основи;
• P  - лебегова мярка.

Теорема 2 (Теорема на Дороти Махарам) Всяко вероятностно пространство без атоми е изоморфно на следната сума от несъвместими събития:

Нека сега видим какво става с изброимо породените вероятностни пространства.

Теорема 3 Всяко такова вероятностно пространство без атоми е изоморфно на интервала [0,1], снабден с мярката на Лебег върху бореловата s-алгебра.

Доказателство: Просто следствие от теоремата на Махарам. Q.E.D.

Пример 1 Схема на Бернули е редица от независими еднакво разпределени случайни величини {x_i, i = 1, 2, ... }, всяка от които приема две стойности: 1 и 0 с вероятности (съответно) p и q = 1-p.

Съгласно теоремата на Каратеодори този набор от случайни величини поражда вероятностна мярка в пространството от безкрайни двоични редици. Да напомним това построение. Нека означим това пространство с E и неговите елементи с e = {e₁, e₂, ...}. За всяко крайно n наборът от първите n случайни величини е векторна случайна величина, която определя в основното вероятностно пространство набор от събития:

Определената от тях булева подалгебра Wⁿ се състои от крайни обединения на непресичащи се множества от този тип. От друга страна тези булеви алгебри се влагат в пространството E, като определението на съответните множества се продължава цилиндрично - неупоменатите координати са свободни от ограничение. Там алгебрите образуват нарастваща редица. Върху множествата от тази алгебра вероятността се определя просто:

Съгласно теорема 1.3 това вероятностно пространство е изброимо породено, няма атоми и следователно е изоморфно на интервала [0,1] с мярката на Лебег. В лекциите по вероятности ние построихме един конкретен изоморфизъм.

1.2  Разделяния и алгебри

Да напомним някои основни свойства на булевите подалгебри. С всяко крайно разделяне (пълна група от събития) g на пространството W е свързана еднозначно определена булова подалгебра A_g М A. Ако разделянето g се състои от N непразни множества, то буловата подалгебра е крайна и съдържа точно 2^N елемента.

Изобщо казано е верна следната

Теорема 4 Съществува взаимно - еднозначно съответствие между крайните булеви алгебри и крайните разделяния на пространството W.

Доказателство: Да съпоставим на всяко разделяне булова алгебра. Нека g = {H₁,H₂,... H_n}. Нека означим с N множеството {1,2,...,n} и нека I М N. Да разгледаме семейството от множества от вида: A_I = е_{i О I} H_i. Те образуват булева подалгебра на A. Наистина, A_Ж = Ж, A_N = W, A<sub>[`(I)]</sub> = [`(A_I)], A_IИJ = A_I ИA_J. Да означим тази подалгебра A_g. Обратно, нека B е крайна (състояща се от краен брой множества) булева подалгебра М A. Ще наречем атом на B всяко множество от вида:

Това съответствие поражда интересна връзка между операциите определени върху подалгебри и разделяния. На тривиалната алгебра {Ж,W} отговаря тривиалното разделяне n = {W}.

Определение 4 Казваме, че d е по-ситно (или по фино) от g( g Ј d) ако A_g М A_d.

Това означава, че елементите на разделянето g са по-груби, те се състоят от по няколко елемента на разделянето d. И двете множества - това на булевите алгебри и това на разделянията - са частично наредени. Но тъй като в тях са определени и операциите max и min , те са и решетки. В частност,

Разделянето max(d,g) се състои от всевъзможни сечения на елементи от двете разделяния.

Разделянето min(d,g) се състои от събития, които могат да се представят като обединения на елементи, както от едното, така и от другото разделяне.

Благодарение на това двете структури - на булови алгебри и разделяния стават изоморфни.

Теорема 5 За всяко изброимо породено разделяне g съществува редица от крайни разделяния g_n < g_n+1, такава че g = sup_n g_n.

Доказателство: Нека N = {A₁,A₂,... } са събитията пораждащи g. Да означим с g_n разделянето и, съответно, A_n - буловата му алгебра, породени от първите n събития. Да означим с A = s(N). Очевидно, A = s(ИA_n). Тъй като елементите на g са сечения на намаляващи елементи на g_n и за него това е изпълнено. Q.E.D.

До тук работихме само с измеримото пространство (W,A) без фиксирана вероятност на него.

1.3  Пространства на Лебег - Рохлин

Нека сега разгледаме (W,A,P ) след въвеждането на фиксирана вероятност.

Определение 5 Нека s-алгебрата A е породена от някакво изброимо семейство множества, което разделя точките във вероятностното пространство W. Такива пространства наричаме пространства на Лебег - Рохлин (ЛР-пространства).

Сега всички s-подалгебри се попълват с подмножествата на събития с нулева вероятност и се разглеждат само класовете еквивалентни събития.

Определение 6 Нека g и d са разделяния, а A_g и A_d - съответните им s-алгебри. Казваме, че g < d, когато "A О A_g $B О A_d такова, че P (ADB) = 0. Тук ADB = A[`(B)]+B[`(A)].

От тук нататък ще разглеждаме само класове еквивалентни алгебри и съответните им разделяния. Теорема 1.4 може лесно да се обобщи.

Теорема 6 Съществува взаимно - еднозначно съответствие между изброимо породените s-подалгебри на A и изброимо породени разделяния на W.

Доказателство: Директно следствие от теорема 1.5. Q.E.D.

Винаги ще предполагаме, че са изпълнени условията за изброима породеност на A и всички разглеждани подалгебри. Във пространството Rⁿ, например, това е изпълнено, защото бореловата алгебра е изброимо породена. Така получаваме ключовата за статистиката теорема:

Теорема 7 Нека x е векторна сл.в. и P _x е нейното разпределение в Rⁿ, определено на бореловата s-алгебра B. Тогава тройката (Rⁿ,B,P _x) е ЛР-пространство.

Определение 7 Ще казваме, че g е измеримо разделяне във вероятностното пространство (W,A,P ), ако съществуват изброим брой A_i, i = 1, 2, ... пораждащи го събития.

Пример 2 Разделянето на точки e в интервала [0,1] се поражда от двоично - рационалните интервали.

Нека g е измеримо разделяне в ЛР-пространството (W,A,P ). Да означим A_g съответната му алгебра и с P _g ограничението на вероятноста P  върху нея. Да разгледаме разделянето g като множество от елементите си C. Тогава преобразованието T:w® C , съпоставящо на w елемента C , който го съдържа става измеримо относно породената от T(A_i) s-алгебра A_g . Пренасяме вероятността тривиално: P (T(A_i)) = P (A_i). Така тройката (g,A_g,P _g) става ЛР-пространство, а преобразованието T се превръща в хомоморфизъм. В литературата по теория на мерките (g,A_g,P _g) се нарича фактор-пространство.

Теорема 8 Нека g е измеримо разделяне в ЛР-пространството (W,A,P ). Тогава
1. Върху п.в.(относно P _g) елемент C е определено ЛР-пространство (C,A_C,P _C).
2. Изображението C(A): A ® CЗA от A в A_C е добре дефинирано за п.в. C.
3. Функцията P _C(C(A)) е измерима в (g,A_g,P _g) "A О A.
4. Изпълнена е следната формула на (пълната вероятност):

Доказателство: Тази теорема няма да доказваме. Тя следва от теорията на Рохлин за пространствата на Лебег, изложена подробно в [Самородницкий, 1985]. Q.E.D.

---

Начало на лекцията | Съдържание | Индекс