Лекция 5
Експоненциално семейство

Това семейство разпределения заема изключително положение в математическата статистика по две причини. Първо, в него влизат почти всички разпределения с аналитична форма на запис и, второ, както ще видим в тази лекция , то притежава всички необходими теоретични качества.

Към експоненциалното семейство спадат гаусовото, бета, гама, стюдент, фишер, поасоново, биномно и редица други разпределения.

Определение 1 Ще наричаме експоненциално семейство E семейството от разпределения с плътности от вида

f(x,q) = h(x) exp((a(q),U(x)) +V(q))

(5.1)

където q О Q М R^k, a(q), U(x) О R^k

Преобразованието a:R^k® R^k, определено в някаква област Q, обикновено се предполага взаимно еднозначно на Q. Ние ще предположим, че функциите a₀(q) = 1,a₁(q),a₂(q),...,a_k(q) са линейно независими.

Функцията на правдоподобие на експоненциалното разпределение ще има вида

L(x,q) =

n
Х
i = 1

f(x_i,q) = (

n
Х
i = 1

h(x_i) )exp((a(q),

n
е
i = 1

U(x_i)) + nV(q)).

(5.2)

5.1 Минималност на S

Лесно се вижда, че разпределението породено от n наблюдения в има проста форма, която може да се изрази по следния начин. Да означим с S = еⁿ_{i = 1} U(x_i). Да разгледаме функцията

r(x,q) =

f_q(x)

f_q₀(x)

= exp( (a(q)- a(q₀),S)+n(V(q_j) - V(q₀))).

Значи можем да разгледаме m = f_q₀(x). От теорема 4.2 следва, че породената от нея s-алгебра s(h(x,q) е минимална достатъчна.

Теорема 1 Статистиката S е минимална достатъчна.

Доказателство: От линейната независмост на 1,a¹(q),a²(q),...,a^k(q)

следва линейна независимост на a¹(q)-a¹(q⁰),a²(q)-a²(q⁰),...,a^k(q)-a^k(q⁰) Значи ще се намерят в R^k точки q₁,q₂,...,q_k, такива че матрицата A = (a_i,j = aⁱ(q_j)-aⁱ(q₀) е неизродена. Следователно системата:

е
i

s_i a_i,j = lnr(x,q_j)-n(V(q_j) - V(q₀))

е разрешима еднозначно относно S. Това означава, че s(S) М s(h(x,q)) и значи е минимална достатъчна. Q.E.D.

5.2 Пълнота на S

Теорема 2 Ако образът на преобразованието a(Q) съдържа непразен паралелопипед, то статистиката S е пълна.

Доказателство: (Теорема 5.2) В нашия случай теоремата на Нейман - Фишер за факторизацията на правдоподобието по лебеговата мярка води до представянето:

g(s,q) = exp(a(q),s)+nV(q))

h(x) =

n
Х
i = 1

h(x_i)

Лема 1 Нека G₁ и G₂ са две s-крайни мярки в R^k такива, че интегралите съществуват и са равни:

у
х

e^(a,x) d G₁ =

у
х

e^(a,x) d G₂

за "a от някой непразен куб в R^k. Тогава G₁ = G₂.

Доказателство: Нека първо кубът има вида |a^j| < a. Тъй като функциите са аналитични по а следва, че за всяко -Ґ < b < Ґ ще бъде изпълнено:

у
х

e^i(b,x) d G₁ =

у
х

e^i(b,x) d G₂

От теоремата за взаимно еднозначното съответствие на х.ф. и ф.р. в R^k следва твърдението на лемата. Ако кубът има друг център |a^j-c^j| < a, то следва да разгледаме мерките G^* = e^i(c,x)G . Q.E.D.

Да се върнем към доказателството на теорема 5.2. Можем да разгледаме в R^k не зависещата от q мярка:

n(B) =

у
х

S(-1(B)

h(x) dl.

Трябва да покажем, че от

у
х

f(x) d G_q = 0 "q О Q

следва f(x) за всяка измерима функция f. Първо f = f₊ - f_-. Значи

у
х

f₊(x) d G_q =

у
х

f_-(x) d G_q

у
х

g(s,q)f₊(x) dn =

у
х

g(s,q)f_-(x) dn

у
х

g(s,q) dn₊ =

у
х

g(s,q)(x) dn_-

у
х

exp(a(q),s)dn₊ =

у
х

exp(a(q),s)dn_-

Сега твърдението следва от лемата.Q.E.D.

Пример 1 Гама разпределение

Сега имаме два параметъра: q = {a,l}.

f(x,q) =

l^a

G(a)

x^a-1 e^-lx, x > 0.

(5.3)

Получаваме: h(x) = x^-1, S(x) = {U¹(x) = lnx, U²(x) = x}, V(a,l) = [(l^a)/( G(a))], a¹(q) = l, a²(q) = - a.

Начало на лекцията | Съдържание | Индекс

File translated from T_EX by T_TH, version 2.10.
On 4 Jun 1999, 15:57.

Лекция 5 Експоненциално семейство

5.1 Минималност на S

5.2 Пълнота на S

Начало на лекцията | Съдържание | Индекс

Лекция 5
Експоненциално семейство