Лекция 9
Браунов мост

• ще разгледаме брауновия мост и как се изплозува;
• ще разгледаме граничното поведение на някои популярни статистики;

Нашата цел е да покажем, че много асимптотични резултати в непараметричната статистика следват от свойствата на брауновия мост.

9.1  Браунов мост

9.1.1  Определния

Нека с W(t), (0 Ј t) означим стандартния винеров процес. Това е гаусов процес с независими нараствания, E W(t) = 0, D W(t) = t. Лесно се извеждат крайномерните разпределения на този процес - всички те са гаусови. Съгласно теоремата на Колмогоров съществува вероятностна мярка в пространството R^T от всички функции определени на интервала [0,T]. Мярката на подпространството от непрекъснати функции C[0,Т] е 1, така че траекторите на процеса лежат в него с вероятност 1, Затова обикновено се казва, че той е процес с непрекъснати траектории.

Определение 1 Браунов мост наричаме процеса: w(t) = W(t)-W(1)*t, 0 Ј t Ј 1.

Определение 2 Да означим с F_n(t) извадъчната функция на разпределение, построена по n независими наблюдения над равномерно разпределена сл.в. в интервала (0,1). Извадъчен браунов мост наричаме процеса: w_n(t) = Цn(F_n(t)-t), 0 Ј t Ј 1.

Траекториите на този процес естествено са непрекъснати от ляво и лежат в пространството D[0,1] на непрекъснати от ляво и ограничени функции с краен брой точки на прекъсване.

9.1.2  Конструкция на извадъчен Браунов мост

Да разгледаме едномерния случай.

Да означим с b(k,p) следната функция на векторите k, p О R^s (n = е_{i = 1}^s k_i, k_i і 0, k_i - цели числа, е_{i = 1}^s p_i = 1, p_i > 0):

Нека t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_s са фиксирани числа в интервала (0,1), t₀ = 0, t_s = 1. Да разгледаме съвместното разпределение на бройките попадения в интервалите D_i = [t_i-1,t_i) на n независими еднакво разпределени равномерни сл.в. Това, разбира се, е добре известното полиномно разпределение, което се задава с формулата (9.1). За разпределенията на извадъчната функция на разпределение можем да използуваме този резултат по следния начин:

Нека сега t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_s, i = 1,2,...,s са фиксирани числа в интервала [0,T], t₀ = 0, t_s = T. Да разгледаме поасонов случаен процес p(t), p(0) = 0 с интензивност l зададен на реалната полуправа - t О R⁺. Ще го разгледаме в интервала [0,T) Неговите съвместни разпределения в точките t₀ = 0 < t₁ < t₂ < , ..., < t_s = T се определят от (съвместните разпределения на) независимите нараствания на процеса в интервалите: D_i = p(t_i)-p(t_i-1). Имаме, че l_i = l(t_i - t_i-1) и, следователно:

Нека p(u), u О [0,1] е еднороден поасонов процес с параметър l. Предполага се, че траекториите му са непрекъснати отляво. Да разгледаме трансформирания поасонов процес h(t) = p(F(t)). Така получаваме следната теорема:

Теорема 1 Ако ф.р. F е непрекъсната, то разпределението на процеса n F_n(t) съвпада с условното разпределение на поасоновия процес h(t) = p(F(t)) при условието h(Ґ) = n, (p(1) = n).

Доказателство: Наистина, ако F(t) = t (t О (0,1)), теоремата е доказана. Нека разгледаме произволна непрекъсната (без скокове) F и x е такава, че P (x < x) = F(x). Тогава разпределението на сл.в. h = F(x) е равномерно в интервала (0,1). Q.E.D.

Следователно, за непрекъснатите ф.р. можем да се съсредоточим върху разглеждането на тези крайно-мерни разпределения.

9.1.3  Крайно-мерни разпределения

Теорема 2 Крайномерните разпределения на w_n клонят към крайномерните разпределения на w.

Доказателство: Доказателството е почти очевидно. Да означим с D_k = t_k-t_k-1, U = е^s_{k = 1} u_kD_k и разгледаме лог-характеристичната функция на нарастванията w_n:

От тази теорема, разбира се, следва сходимост по разпределение на произволни ограничени функции зависещи от краен брой стойности на процеса в фиксирани точки по времето. За по-общи функционали това не е достатъчно.

Определение 3 Модул на непрекъснатост C_D(y) О D[0,1] наричаме функцията:

Ще докажем едно вспомагателно твърдение за модула на непрекъснатост C_D(w_n) .

Лема 1

Доказателство: Да разгледаме двоично-рационални D = 2^-l, l > 3. Имаме при l < m

Сега (9.3) можем да препишем във формата

Да се заемем с втората част на (9.4). Събитието {sup|w_n([(k)/( 2^m)])-w_n(u)| > e} под знака на вероятността означава (при фиксираното m: 2^m = n³), че в интервала ([(k)/( n³)],[(k+1)/( n³)]) е изпълнено |n(F_n(u)-u) -F_n([(k)/( n³)])| > Цne. Тъй като при достатъчно голямо n имаме Цne і 3, значи в интервала са се случили поне две събития: S_n і 2. P (S_n і 2) = O(n² p²) . Тъй като p = n^-3 от това следва,че n³ O(n^-4) = O(n-1) ® 0. Q.E.D.

Тази лема е основното оръжие при изучаването на близостта на извадъчния Браунов мост към теоретичния. Сега лесно следва теоремата.

Теорема 3 Нека F е функционал определен на D[0,1] и F(w_n) и F(w) са сл.в. Нека F е непрекъснат в метриката на C[0,1] в всяка точка на D[0,1] . Тогава F(w_n) ® F(w)

Доказателство:  Да означим за всяко x О D[0,1]:

Ако сега разгледаме непрекъснатата частично линейна функция през точките (kD, x(kD) и я означим с x_D(t) , ще видим, че

Твърдението на теоремата лесно следва (ref3) от връзките:
(w_n - wⁿ_D ) (по разпределение и п.с.);
(wⁿ_D - w_D) - (вж. теорема 9.2);
(w - w_D) (по разпределение и п.с.) и разпределенията на стохастично наредените F^-_e, F , F⁺_e върху тях. Q.E.D.

9.2  Статистики свързани с извадъчното разпределение

Сега можем да сумираме знанията си по непараметрична статистика. Разглеждат се два основни типа статистики свързани с извадъчното разпределение.

Определение 4 Статистика от интегрален тип наричаме:

Лесно се вижда, че за изучаването на граничното поведение на тези статистики е достатъчно да се изучава сходимостта по разпределние. При това интегралния (сумиращ) характер на функционала води до асимптотично нормално поведение. Това остава верно и при произволна размерност на елемента на извадката. Ще цитираме една теорема от този тип. Втората и част позволява лесно да се изучава асимптотичното поведение на максимално- правдоподобните оценки и самото правдоподобие в точката на максимума.

Теорема 4 Нека функцията h(x):R^s® R¹ е диференцируема в т.a = тg(x) dm(x) О R^s и матрицата от втори моменти: s² = т(g(x)-a)(g(x)-a)ўdm(x) е крайна.

• Тогава

  (S(mn) - h(x0))Цn d ®   1 2 xT hў(а) = 1 2 s е j = 1  xj ¶h(a) ¶tj .

  (9.6)

  Тук x = {x₁,x,...,x_s}ў О N(0,s²) . (Допускат се и изродени разпределения.)

• Нека сега h(x) е такава, че x^T hў(а) = 0 (п.с. по m), но съществува матрицата от втори производни на функцията h в т.a. Тогава

  (S(mn) - h(x0))n d ®   1 2 xT hўў(а) = 1 2 s е i,j = 1  xj ¶2 h(a) ¶ti ¶tj .

  (9.7)

Вторият тип статистики е от ''точков '' тип. Нека F е функционал определен на множеството от разпределения и той е непрекъснат относно някакво разстояние върху това множество.

Определение 5 Статистика от точков тип наричаме:

За изучаването на граничното поведение на общи функционали от този тип вече не стига слабата сходимост. Налага се да се използуват теореми от типа на Гливенко-Кантели и Брауновия мост (виж теорема 9.4).

Двата класа, разбира се, имат непразно сечение.

---

Начало на лекцията | Съдържание | Индекс