Тема 5
Интегрируемост

След определянето на стохастична производна на процес е редно да се въведе L2 - стохастичен интеграл. Ще го въведем относно процес с ортогонални нараствания.

5.1  L2 стохастично интегриране

Определение 1 Ако съществува границата (в средно квадратичен смисъл) на Римановите суми

IL2(x) =
L.i.m.
dn = min{tj-tj-1} ® 0 
 n
е
j = 1 
 xtj(tj-tj-1),
където a = t0 < t1 < ј < tn = b е разбиване на интервала [a,b] и ti О [ti-1, ti). Тогава казваме, че xt е L2 -интегруема в [a,b] и границата представлява интеграла
b
у
х
a 
 xt dt def
=
 
 IL2(x)

Тъй като класическия риманов интеграл се дефинира за функции приемащи стойности в хилбертовото пространство R . Тогава теорията на римановия интеграл може до голяма степен да се пренесе за L2 интеграла.

Без затруднения може да се покаже коректността на определението на L2 интеграл. Също така лесно се доказва (както за риманов интеграл)

Теорема 1 Ако xt е непрекъснат в L2 смисъл в интервала [a,b], то съществува интеграла b
( т)
a 
xt dt.

Когато траекториите на процеса xt са п.с. интегруеми (по Риман), тогава интеграл може да се дефинира потраекторно, т.е. като п.с. граница на римановите суми

IR(x)(w) п.с.
=
 
Lim
dn = min{tj-tj-1} ® 0 
 n
е
j = 1 
 xtj(tj-tj-1).
Следващата теорема показва, че двете определения не водят до различни интеграли, когато съществуват.

Теорема 2 Ако за процеса xt съществуват IL2(x) = b
( т)
a 
xt dt и IR(x)(w) = b
( т)
a 
xt(w) dt, то

IL2(x) п.с.
=
 
 IR(x).

Доказателство.(Неформално)

Да разгледаме едни и същи риманови суми в граничния преход при определянето на интегралите. Тогава

Sn = n
е
j = 1 
 xtj(tj-tj-1)
п.с.
®
 
dn ® 0 
 IR(x) и
Sn = n
е
j = 1 
 xtj(tj-tj-1)
L2
®
 
dn ® 0 
 IL2(x)
но от сходимостите в L2 смисъл и п.с. следва сходимост по вероятност, тогава Sn
( ®)
n®Ґ 
IR(x) и Sn
( ®)
n®Ґ 
IL2(x), т.е. IR(x) = IL2(x) [¯]

5.2  Процеси с ортогонални нараствания

Определен интерес представляват процесите с ортогонални (некорелирани) нараствания. С тяхна помощ се определят друг тип стохастични интеграли относно случайна мярка. Те дават удобни представяния на процесите, чрез които лесно се пресмятат ковариационните функции за съответните процеси и други техни характеристики.

Определение 2 За процеса xt, с E xt = 0 казваме, че е с ортогонални нараствания, ако

cov((xt2 -xt1)
(xt4-xt3)
 
 = < xt2 -xt1, xt4-xt3 > = 0, за произволни
t1 < t2 Ј t3 < t4.

В частност, ако процеса е с независими нараствания, то той е и с ортогонални нараствания.

Твърдение 1 Нека е даден един процес с ортогонални нараствания {xt,t О T} като той е с крайна дисперсия, както по принцип предполагаме в тази лекция.

Тогава съществува функция F(s), така че

E |xt - xs|2 = F(t) - F(s), за произволни s,t О T.

Доказателство.
Нека t0 О T, определяме

F(t) = м
н
о
E |xt -xt0|2, за t0 Ј t
- E |xt - xt0|2, за t < t0
Ще покажем, че F е търсената функция само за случая s < t0 < t, в останалите 2 възможности е аналогично. E |xt - xs|2 = E (xt - xt0 + xt0- xs)[`((xt - xt0 + xt0- xs))] = E (xt-xt0)[`((xt-xt0))]+ E (xt-xt0)[`((xt0-xs))] + E (xt0-xs)[`((xt-xt0))] + E (xt0-xs)[`((xt0-xs))], от ортогоналността на нарастванията (за непресичащи се интервали) следва, че средните 2 члена от горната сума са 0. Като се вземе предвид определението за F, се получава E |xt - xs|2 = F(t) - F(s). [¯]

Даден е процес с ортогонални нараствания {xt, t О [a,b] М R }, който е L2 - непрекъснат отдясно. Ще определим стохастичния интеграл b
( т)
a 
g(t) d xt за произволна детерминирана функция g с b
( т)
a 
|g(t)|2 d F(t) < Ґ.

Определение 3 За функцията g(x) = n
( е)
k = 1 
ck 1[tk-1,tk)(x), където a = t0 < t1 < ј < tn = b

b
у
х
a 
 g(t) d xt def
=
 
 n
е
k = 1 
 ck (xtk-xk-1).

Да означим с L0([a,b]) = {g:[a,b]® C : g(x) е стъпаловидна } и L2([a,b];F) = {g:[a,b]® C : b
( т)
a 
|g(x)|2 dF(x) < Ґ}. От теорията на интегрирането имаме, че L2([a,b];F) е линейно хилбертово пространство със скаларно произведение < f,g > = тab f(x)[`(g(x))] d F(x), т.е. то е пълно относно нормата породена от < ·,· > . Имаме също, че L0([a,b]) е гъсто в L2([a,b];F).

Да означим също с M2 = {x- случайна величина : E |x|2 < Ґ}, то също е линейно хилбертово пространство относно скаларното произведение < x,h > = E x[`(h)].

Твърдение 2 Така определения стохастичен интеграл

I : м
п
п
н
п
п
о
L0([a,b]) ® M2
g \longmapsto b
у
х
a 
 g(t) d xt
е изометрия, т.е. I е линейно изображение и ||g||L2([a,b];F) = ||I(g)||M2.

Доказателство.
Веднага се вижда от определението:

|| у
х 		b

a 
 g(t) dxt||M2 = E n
е
k = 1 
 ck (xtk-xk-1)
n
е
k = 1 
 ck (xtk-xk-1)
 
 = (от ортогоналността

на нарастванията) = n
е
k = 1 
 |ck|2 (F(tk) - F(tk-1)) = у
х 		b

a 
 |g(x)|2 d F(x) = ||g||L2
[¯]

И така имаме изометрия I:L0([a,b])® M2, от едно гъсто подпространство на L2([a,b];F) в хилбертово пространство M2. Лесно се проверява, че I може да се продължи по непрекъснатост (при това по единствен начин) върху L2([a,b];F). Наистина:

Нека g О L2([a,b];F) и ||gn - g||L2, gn О L0, тогава редицата {gn} e L2 - фундаментална. Нека xn = I(gn) О M2, от това, че I е изометрия следва, че ||xn - xm||M2 = ||gn-gm||L2 и редицата {xn} е ||·||M2 - фундаментална. Пространството M2 е пълно относно ||·||M2, и следователно xn
( ®)
n®Ґ 
x. Случайната величина x е стохастичния интеграл от g

b
у
х
a 
 g(t) dxt def
=
 
 x.

Коректността следва веднага, като видим, че ако gn ® g и fn ® g, то за hn = {
fk, за n = 2k
gk, за n = 2k+1
имаме че hn® g.

Свойството линейност на интеграла също се запазва, а едно от най-полезните му свойства е:

< g,h > = b
у
х
a 
 g(x)
h(x)
 
 d F(x) = E x
h
 
 = < x, h > ,
където x = b
( т)
a 
g(t) dxt и h = b
( т)
a 
h(t)dxt.
Пример:
Нека е даден процеса {Zt}с нулево очакване и ортогонални нараствания. Докажете, че ако за F(n) = E |d Zn|2 имаме F(Ґ)-F(-Ґ) < Ґ, то процеса
Xt def
=
 
 b
у
х
a 
 ei t n d Zn
(5.1)

е слабо стационарен, изразете чрез F автокорелационната функция на {Xt}.

Равенството (5.1) се нарича спектрално представяне на процеса, а F се нарича негова спектрална мярка. Проверете, че процеса е строго стационарен ако {Zn} има стационарни нараствания (в сила ли е обратното ?). [¯]
Задачи
1. За случайният процес {Xt} намерете E Xt, D Xt и cov(Xt,Xs). Проверете дали той е стационарен и в какъв смисъл, ако:
а. Xt = j(t), където j(t) е детерминирана функция;
б. Xt = V, където V е случайна величина с очакване a и дисперсия s2;
в. Xt = Vj(t), където V е случайна величина с очакване a и дисперсия s2, а j(t) е детерминирана функция.
г. Xt = V cos( wt+j), където V е случайна величина с очакване a и дисперсия s2, а j е независима от V, равномерно разпределена случайна величина в [-p,p]. [¯]



Начало на лекцията | Съдържание

File translated from TEX by TTH, version 2.10.
On 20 May 1999, 11:44.