Тема 4
Основни свойства на случайните процеси

В тази тема се разглеждат свойствата непрекъснатост и диференцируемост на процесите в L₂ смисъл.

Освен ако не е изрично уговорено разглежданите процеси в тази лекция ще са с крайни дисперсии.

4.1 Непрекъснатост

Определение 1 Даден е случаен процес {x_t,t О T}, T М R . Нека t₀ О < T > е точка от вътрешността на T. Казваме, че процеса е:
а. непрекъснат по вероятност (стохастично непрекъснат) в t₀, ако за произволно e > 0

{ |x_t -x_t₀| і e}

t® t₀

б. непрекъснат в L₂ смисъл в t₀, ако

||x_t - x_t₀||_L₂ = E |x_t-x_t₀|²

®

t® t₀
0.

в. п.с. непрекъснат в t₀, ако

x_t
п.с.
®

t ® t₀
x_t₀.

г. с п.с. непрекъснати траектории в t₀, ако съществува Wў Н W, Pr{Wў} = 1 и за всяко w О Wў траекториите x_t(w) са непрекъснати в t₀.

Ако процеса е непрекъснат (в съответния смисъл) във всички точки от даден интервал от T, то той се нарича непрекъснат (в съответния смисъл) в този интервал.

Теорема 1 [НДУ за стох. непр.] Процесът {x_t} е непрекъснат по вероятност в t₀, тогава и само тогава, когато за двумерните функции на разпределение

F_{x_t,x_s}(x,y)

w
®

t,s® t₀

F(x,y) където F е неизродена ф. р.

® означава слаба сходимост (вж. гл. 7 от [3]).

Доказателство.
Необходимост. Нека x_t
( ®)
t® t₀
x_t₀, тогава очевидно (x_t,x_s)
( ®)
t,s ® t₀
(x_t₀,x_t₀), но сходимостта по вероятност влече сходимост по разпределение и тогава

F_{x_t,x_s}(x,y)

w
®

t,s® t₀

F(x,y).

Достатъчност. Нека за произволно e > 0 f_e(x) = {

[1/( e)]|x|,

за |x| Ј e

за |x| > e

, тогава

{|x_t - x_t₀| і e} =

у
х

|x-y| і e

d F_{x_t,x_t₀}(x,y) Ј

у
х

R ²

f_e(x-y) d F_{x_t,x_t₀}(x,y).

По условие F_{x_t,x_t₀}(x,y)
( ®)
t® t₀
F(x,y), функцията f_e е ограничена, тогава от определението за слаба сходимост на разпределения (вж. гл. 7 от [3])

у
х

R ²

f_e(x-y) d F_{x_t,x_t₀}(x,y)

t® t₀

у
х

R ²

f_e(x-y) d F(x,y).

Разпределението F е съсредоточено върху правата {x = y}, т.к. то е граница, в частност, на разпределенията F_{x_t,x_t} които са съсредоточени върху тази права, но f_e(0) = 0 следователно

у
х

R ²

f_e(x-y) d F(x,y) = 0.

Откъдето

{|x_t - x_t₀| і e} Ј

у
х

R ²

f_e(x-y) d F_{x_t,x_t₀}(x,y) ® 0.

^[¯]

Теорема 2 Даден е процеса {x_t}, тогава

x_t

L₂
®

t® t₀

тогава и само тогава, когато

R(t,s) = E x_t
x_s

®

t,s® t₀
C_t₀ = const.

Доказателство.
Може да разглеждаме < x,h > = E x[`(h)] като скаларно произведение в линейното пространство L₂ = {x: E x = 0, E |x|² < Ґ} от комплексни случайни величини с нулево очакване и крайни дисперсии.
Необходимост. От неравенството на Коши-Буняковски-Шварц имаме, че скаларното произведение е непрекъснато в нормата, породена от него, т.е. в L₂ смисъл. Това доказва необходимостта.
Достатъчност. Ще покажем, че за произволни t_n® t₀, редицата {x_{t_n}} е L₂ - фундаментална.

E |x_{t_n}-x_{t_m}|² = E x_{t_n}

t_n

+ E x_{t_m}

t_m

- E x_{t_n}

t_m

- E x_{t_m}

t_n

, но

E x_t [`(x_s)]
( ®)
t,s® t₀
C_t₀ откъдето

E |x_{t_n}-x_{t_m}|²

n,m ® Ґ

^[¯] Задачи
1. Дадени са некорелираните случайни величини x_n,n = 1,2,ј, Dx_n < Ґ. Редът

n = 1

x_n е сходящ в L₂ смисъл

тогава и само тогава, когато редовете

n = 1

Ex_n и

n = 1

D x_n са сходящи.

2. Нека x₁,ј,x_n,ј са независими и еднакво разпределени, E x_i = 0, D x_i = s². Сходящи ли са в L₂ смисъл

h_n =

x₁+ј+x_n

sn^1/2

^[¯]

Теорема 3 x_t,t О [a,b] е стохастично непрекъснат процес в компакта [a,b], тогава процеса е равномерно стохастично непрекъснат в [a,b].

Доказателство.
Равномерна непрекъснатост по вероятност означава:

"e > 0

sup
{t,s О [a,b], |t-s| < d}

P {|x_t-x_s| і e}

d® 0

Ясно е, че за A_e(d) =
( sup)
{t,s О [a,b], |t-s| < d}
P {|x_t-x_s| і e} при d₁ < d₂ имаме A_e(d₁) Ј A_e(d₂). Да допуснем, че процеса не е равномерно стох. непрекъснат, т.е. $e₀ > 0 и C₀ > 0, такива че "d > 0, A_e₀(d) і C₀.

Нека за всяко t₀ О [a,b]

B(t₀) = {s:|s-t₀| < d(t₀,e₀) така, че

{|x_s - x_t₀|} і e₀/2} < C₀/3}.

От непрекъснатостта по вероятност във всяка точка t₀ следва, че за всяко t₀ съществуват околности B(t₀). Тогава околностите V(t₀) = {s:|s-t₀| < d(t₀,e₀)/2}, t₀ О [a,b] образуват отворено покритие на [a,b], който е компакт и следователно от отвореното покритие може да се избере крайно подпокритие V(t₁),ј,V(t_n).

Да разгледаме произволни s,t О [a,b], такива че |s-t| < d, където 0 < d = min{d(t_i,e₀)/2, i = 1,ј,n}. t О V(t_i), за някое i, тогава |t-t_i| < d(t_i,e₀)/2, но също |t-s| < d, откъдето t,s О B(t_i₀).

Това води до противоречие, наистина

{|x_t - x_s| і e₀} Ј

{|x_s-x_{t_i}| + |x_t -x_{t_i}| і e₀} Ј

{|x_t-x_{t_i}| і e₀/2}+

{|x_s-x_{t_i}| і e₀/2} Ј C₀/3 + C₀/3 < C₀,

т.е. получихме, че A_e₀(d) < C₀. ^[¯]

4.2 Диференцируемост

Ще определим понятието средноквадратична (т.е. в L₂ смисъл) диференцируемост на процес и с помощтта на Теорема 4.2 директно ще изведем НДУ за средно квадратична диференцируемост и непрекъсната диференцируемост.

Определение 2 Даден е процеса x_t,t О T. Казваме, че той е диференцируем в L₂ смисъл в точката t₀ О (t₀-d,t₀+d) Н T, ако

(x_t₀+h - x_t₀)

L₂
®

h® 0

Когато процеса е L₂ - диференцируем във всяка точка от даден интервал, то той се нарича L₂ - диференцируем в целия интервал.

Теорема 4 [НДУ] Процеса {x_t} е L₂ - диференцируем в t₀ тогава и само тогава, когато за R(t,s) = E x_tx_s съществува производната

¶²

¶t ¶s

R(t,s)\arrowvert_{(t,s) = (t₀,t₀)} =

lim

h₁ , h₂ ® 0

h₁

(x_t₀+h₁-x_t₀)

h₂

(x_t₀+h₂-x_t₀)

Доказателство.
Директно приложете Теорема 4.2 за случайните величини h_h = (x_t+h-x_t)/h при h® 0. ^[¯]

Теорема 5 Нека е даден процеса {x_t}, който е L₂ - диференцируем в интервала (a,b), с производна xў_t. Тогава

E xў_t =

E x_t,

(4.1)

E xў_t
xў_s

= R_xўxў(s,t) = ¶²
¶t ¶s
R_xx(s,t),
(4.2)

E x_t
xў_s

= R_xxў(t,s) = ¶
¶s
R_xx(t,s)
(4.3)

Доказателство.
От неравенството на Коши-Буняковски-Шварц имаме

| E xў_t -

(x_t+h-x_t)| Ј ( E |xў_t -

(x_t+h-x_t)|)^1/2

h® 0

което доказва равенство 4.1. Ще докажем 4.2, а 4.3 се получава аналогично.

| E xў_t

ў_s - E D_h₁x_t

D_h₂x_s

| Ј | E (xў_t-D_h₁x_t)

xў_s

|+ | E D_h₁x_t

(D_h₂x_s - xў_s)

| Ј ,

където D_hx_t = ¹/_h(x_t+h-x_t), а от неравенството на Коши-Буняковски-Шварц следва

Ј || xў_t-D_h₁x_t||_L₂||xў_s ||_L₂+ ||D_h₁x_t||_L₂ ||D_h₂x_s - xў_s ||_L₂.

Последното клони към 0 при h₁,h₂ ® 0, това се вижда директно от L₂ - диференцируемостта на процеса. ^[¯]
Забележка: От Теорема 4.4 се вижда, че е в сила и обратното: ако за E x_t и R_xx(s,t) съществуват съответните производни от 4.1, 4.2 и 4.3, то процеса е L₂ - диференцируем (вж. [9]).

Начало на лекцията | Съдържание

File translated from T_EX by T_TH, version 2.10.
On 20 May 1999, 11:44.

Тема 4 Основни свойства на случайните процеси

4.1 Непрекъснатост

4.2 Диференцируемост

Начало на лекцията | Съдържание

Тема 4
Основни свойства на случайните процеси