Тема 3
Многомерен гаусов процес

Доказана е характеризационна теорема за винеровия процес в многомерния случай.

3.1  Определения

Определение 1 Многомерният процес Wt = (Wt1,ј,Wtd)ў се нарича гаусов, ако случайните вектори Wt1,ј,Wtn са съвместно многомерно нормално разпределени.

Определение 2 Ако Wtn-Wtn-1,ј,Wt2-Wt1,Wt1 са независими, то процеса е с независими нараствания.

Определение 3 Когато разпределението Wt+h-Wt не зависи от t, то процеса се нарича еднороден (или със стационарни нараствания).

Определение 4 Ако процеса {Wt,t О R +} е:
1. с независими нараствания;
2. с п.с. непрекъснати траектории;
3. започва от 0, т.е. W0 = 0.
4. е еднороден,
то процеса се нарича винеров (определението е същото както в едномерния случай).

3.2  Характеризационна теорема

Аналогично на в едномерния случай (Теорема 2.1 ) е в сила следната

Теорема 1 Нека {Wt,t О R +} е винеров процес в R d, тогава съществуват вектор a О R d и симетрична, неотрицателно определена матрица B О Md( R ), така че

jWt(z) = E ei < z, Wt > = eit < a,z > - 1/2t < Bz,z > .

Доказателство.
Достатъчно е да докажем, че процеса е гаусов, от това ще следва, че характеристичните му функции са от съответния вид.

Наистина, да допуснем, че {Wt,0 Ј t} е гаусов, тогава

jWt(z) = E ei < z, Wt > = ei < a(t),z > - 1/2 < B(t)z,z > .
От п.с. непрекъснатост на траекториите на процеса следва стохастичната му непрекъснатост и непрекъснатостта му по разпределение, следователно a(t) и B(t),t О R + са непрекъснати. От независимостта на нарастванията и еднородността на {Wt} получаваме
a(t+s) = a(t)+a(s) и B(t+s) = B(t)+B(s) за произволни s,t О R +,
откъдето a(nt) = na(t) и Ю a(m/n t) = m/n a(t), т.е. a(t) = t a(1) и аналогично B(t) = tB(1) за произволно рационално t. Но функциите a(t) и B(t) са непрекъснати, а рационалните числа са гъсто в R откъдето получаваме, че a(t) = t a(1) = t a и B(t) = t B(1) = t B.

Ще покажем, че процеса {Wt} е гаусов (доказателството е взаимствано от [6] ). За това е достатъчно при произволно z случайната величина Wt(z) = < z, Wt > да бъде гаусова (вж. Лема 3.1). Wt(z,w) е п.с. непрекъсната в [0,t] - компакт, тогава Wt(z,w) е равномерно непрекъсната за п.в. w, т.е. за произволно e > 0

Pr
{
max
1 Ј k Ј n 
 |Wkt/n-W(k-1)t/n| > e}

®
 
n®Ґ 
 0.

Ако en > en+1® 0, то можем да изберем подредица kn®Ґ, така че

Pr
{
max
1 Ј j Ј kn 
 |Wjt/kn-W(j-1)t/kn| > en } Ј en.
(3.1)

Разглеждаме ''орязаните'' случайни величини

hj,kn = м
н
о
Wjt/kn-W(j-1)t/kn
, когато |Wjt/kn-W(j-1)t/kn| Ј ekn
0
, иначе.

Процеса Wt е с независими и стационарни нараствания, следователно ''орязаните'' случайни величини h1,kn,ј,hkn,kn са независими и еднакво разпределени.

Според (3.1) Pr{Wt № hn} Ј en, където hn = h1,kn+ј+hkn,kn, тогава

| E ( exp{i Wt(z)l}- exp{i hn l})| Ј 2 en.
Откъдето
jhn(l)

®
 
n®Ґ 
 jWt(z) т.е.
hn
d
®
 
n®Ґ 
 Wt(z).

E hn = kn an, an = E hj,kn и D hn = kn sn2, sn2 = D hj,kn. По формулата на Тейлър, като имаме предвид, че |hj,kn| Ј en

jWt(z)(l) =
lim
n®Ґ 
 ei kn an jh1,kn-an(l)kn =
lim
n®Ґ 
 еi kn an (1 - sn2l2/2 + en o(sn2))kn.

Случай 1. Нека E hn = kn an® a и D hn = kn sn2 ® s2, тогава, тъй като (1+a/n+ o(1/n))n®n®Ґ ea получаваме

jWt(z)(l) = ei a l-s2 l2/2, т.е. Wt(z) е гаусова.
Случай 2. Ако за някои подредици е в сила Случай 1, то от сходимостта по разпределение на hn получаваме отново, че Wt(z) е гаусова.
Случай 3. D hn ® s2 < Ґ, а E hn е разходяща е невъзможен, пак поради сходимостта по разпределение на hn към Wt(z).
Случай 4. Ако D hn ® Ґ, то тъй като sn2 Ј en2 ® 0 може да се избере подредица mn Ј kn, така, че mn sn2 ® s2 < Ґ, за произволно s > 0. Тогава
| E exp{i Wt(z)l} | Ј | mn
Х
 k = 1 
 E exp{ i hk,knl}| = e- s2 l/2.
Избора на s е произволен, следователно при s® Ґ получаваме jWt(z)(l) = 0, противоречие. [¯]

Лема 1 Нека W е случаен вектор в R d, за който < z,W > е нормално разпределена за произволен вектор z О R d. Докажете, че W има многомерно нормално разпределение (евентуално изродено върху някое линейно многообразие на R d).

Доказателство.
Нека E exp{ i < z,W > t} = exp{ i a(z) t - 1/2t2 b(z) }, очевидно a(lx + my) = la(x) + ma(y) и b(lz) = l2 b(z), откъдето съществува единствен a О R d, така че a(z) = < a, z > . Без ограничения можем да считаме, че a = 0, в противен случай разглеждаме Wў = W-a, който има същите свойства.

Нека ei = (0 ј1 ј0)ў,i = 1,ј,d е ортогонален базис в R d, тогава z = (z1 јzd)ў = z1 e1+ј+ zd ed и < z,W > = z1 x1 +ј+ zd xd, където xi = < ei, W > . Имаме, че E < z,W > = 0, D < z,W > = b(z). За случайните величини от вида W(z) = < z,W > определяме скаларното произведение (W(z1),W(z2)) = cov(W(z1),W(z2)) = E W(z1)W(z2).

Нека y1 = x1, yk = xm(k)-ak yk-1,m(k) і k = 1,ј,r Ј d е ортогонализация по Грам-Шмидт на xi,i = 1,ј,d относно въведеното скаларно произведение (r е рангът на {xi,i = 1,ј,d}).

Ако W(z) ^xi, за i = 1,ј,d, то W(z) = 0, наистина 0 = cov(W(z),xi) = cov(z1 x1 +ј+ zd xd,xi), откъдето D W(z) = cov(W(z),W(z)) = 0 и W(z) = 0, т.к. E W(z) = 0. Това показва, че с вероятност 1 W(z) е от линейната обвивка на y1,ј,yr, т.е.

W(z) = z1y y1 + ј+ zry yr, където
zy = (z1y јzry)ў = Cz, тук C = (cov(yi,xj))rxd.

Величините yi са некорелирани, т.е.

D W(z) = b(z) = (z1y)2 b(y1) + ј+ (zry)2 b(yr), но
ziy са линейни комбинации от zi, откъдето получихме, че b(z) = b(z1,ј,zd) е линейна квадратична форма, което доказва твърдението. [¯]

Задачи
1. Нека {Wt,t О R +} е стандартен винеров процес. Докажете, че за произволен интервал [a,b],0 Ј a траекториите Wt(w) са с неограничена вариация за почти всяко w.
Упътване: Докажете, че за произволно K, Pr(An)® 1, където

An def
=
 
 {w: |Wa+(b-a)/n-Wa|+ј+|Wb-Wa+(b-a)(n-1)/n| > K}, тогава
Pr
( limsup
An) = Pr
( \mathopЗn = 1Ґ \mathopИm і n An) = 1
и очевидно, че за всяко w О limsupAn Wt(w) е с неограничена вариация. [¯]



Начало на лекцията | Съдържание

File translated from TEX by TTH, version 2.10.
On 20 May 1999, 11:44.