ЗАКОНИ ЗА ЗАМЯНА В ПРЕДИКАТНОТО СМЯТАНЕ С РАВЕНСТВО
Тъй като аксиомите за замяна са затворени универсални формули, верни във всяка нормална структура, техните безкванторни части са тъждествено верни във всяка такава структура, т.е. и тези безкванторни части са тъждествено верни формули на предикатното смятане с равенство. С други думи, ако n е положително цяло число и x1, ..., xn, h1,..., hn са различни помежду си променливи, то в предикатното смятане с равенство са тъждествено верни формулите от вида
(x1=h1)&...&(xn=hn)®(w(x1,...,xn)=w(h1,...,hn)),
където w е n-местен функционален символ, и формулите от вида
(x1=h1)&...&(xn=hn)&p(x1,...,xn)®p(h1,...,hn),
където p е n-местен предикатен символ. Сега ще обобщим това твърдение. В обобщението
ще се твърди, че са тъждествено верни в предикатното смятане с равенство
някои импликации, които са по-общи от горенаписаните и се наричат обикновено
закони за замяна (изказаното по-горе твърдение би се получило в специалния
случай на въпросното обобщение, когато x1, ..., xn, h1,..., hn вместо произволни
термове са различни помежду си променливи, а t и q са съответно термът
w(z1,...,zn) и формулата p(z1,...,zn)).
Закони за замяна в термове и във формули. Нека n е положително цяло число,
z1, ... ,zn са различни помежду си променливи, а x1, ..., xn , h1,..., hn са
произволни термове. Да означим със s и с r съответно субституцията
(z1,...,zn:=x1,...,xn) и субституцията (z1,...,zn:=h1,...,hn). Тогава следните
видове формули са тъждествено верни в предикатното смятане с равенство:
а) (x1=h1)&...&(xn=hn)®(s(t)=r(t)), където t е произволен терм;
б) (x1=h1)&...&(xn=hn)&s(q)®r(q), където q е произволна формула, към която
са приложими субституциите s и r.
Доказателство. Нека S=(C,I) е произволна нормална структура, а v е произволна
оценка в S на променливите. Най-напред отбелязваме, че ако в конфигурацията
(S,v) е вярна формулата (x1=h1)&...&(xn=hn), то е в сила равенството
s(S,v)=r(S,v). За да се убедим в това, достатъчно е да си припомним дефиницията
за резултат от прилагане на субституция към конфигурация и да забележим, че
ако в (S,v) е вярна споменатата формула, то ще бъдат в сила равенствата
xiS,v=hiS,v, i=1, ..., n, осигуряващи, че за всяка променлива z ще имаме равенството
s(z)S,v=r(z)S,v. От друга страна, за произволен терм t са в сила равенствата
s(t)S,v=ts(S,v), r(t)S,v=tr(S,v),
а за произволна формула q, към която са приложими субституциите s и r, имаме равенствата
s(q)S,v=qs(S,v), r(q)S,v=qr(S,v).
При това положение става ясно, че ако при условията на точка а) предпоставката на импликацията е вярна в конфигурацията (S,v), то ще бъде изпълнено равенството s(t)S,v=r(t)S,v и значи заключението на импликацията също ще бъде вярно в (S,v). Също тъй ясно става, ако при условията на точка б) предпоставката на импликацията е вярна в конфигурацията (S,v), то ще бъдат изпълнени равенствата
s(q)S,v=r(q)S,v и s(q)S,v=1, тъй че и заключението на импликацията ще бъде
вярно в (S,v).
Последно изменение: 26.07.1999 г.