Дадена е проста формулировка на задачата за оптимално прогнозиране и филтрация на процес. Въведени са понятията линейна регулярност и регулярност.
Нека {xt,t О T = R } е строго стационарен случаен процес, който е оределен в основното вероятностно пространство < W, F ,Pr > . Да разгледаме пространството от траектории < R T, B( R T),Prx > , където Prx е вероятностната мярка, индуцирана от процеса (вж. лекцията за разпределението на случаен процес и построяване на случаен процес).
Имаме следното съответствие между вероятностни пространства
| ||||||||||
|
Нека a е произволно реално число. Да разгледаме оператора
| ||||||||||||
Очевидно е, че [(Ta)\tilde]°[(Tb)\tilde] = [(Ta+b)\tilde] и операторите {[(Ta)\tilde]:a О R } образуват абелева група относно композицията.
Ясно е, че [(Ta)\tilde] действа на траекториите като транслация по времето на a единици.
Да означим с \U минималната s-алгебра, относно която случайните величини xt са измерими. Очевидно \U = s{xt О B: t О R , B О B}. \U е под-s-алгебра на основната F , и ние можем да се ограничим с разглеждане на по-малкото вероятностно пространство < W,\U,Pr > , което съдържа цялата информация за процеса.
С помощта на така определения [(Ta)\tilde] и ендоморфизма A ще определим shift-операторите като ендоморфизми в по-малкото вероятностно пространство < W,\U,Pr > .
Определение 1
За произволно реално число a изображението
Ta:
м
п
п
н
п
п
о
< W, F ,
Pr
> ® < W, F ,
Pr
> w® A-1 °
~
T
a
°A (w)
Проверете коректността на определението и, че Ta е ендоморфизъм, т.е. Ta е измерим и запазва мярката в по-малкото вероятностно пространство < W,\U,Pr > .
Не може да се каже, че Ta са измерими в основното вероятностно пространство < W, F ,Pr > .
Примери
1. Нека B О B и At = {xt О B}. Тогава
|
2. Нека C = {w: xt(w)
|
3. Нека h = h(xt1,ј,xtn), е случайна величина, тогава
|
4. Нека {xt, t О R } е строго стационарен процес с п.с. непрекъснати траектории
|
|
5. Нека {xt, t О R } е строго стационарен процес с п.с. непрекъснати траектории, а U е отворено множество в R . Тогава (вж. примерите за марковски моменти) ta = inf{ t і a: xt О U } е марковски момент и
|
[¯]
Shift-оператора може да се дефинира и директно в случая за L2-интегруеми случайни величини, например нека е даден един сторого стационарен, L2- интегруем процес {xt,t О R }. За всяка L2- интегруема случайна величина от вида h = h(xt1,ј,xtn) определяме
|
Действието на Qa върху произволна {xt}-измерима случайна величина се определя чрез граничен преход в п.с. смисъл на L2-интегруеми.
Докажете, че това определение е коректно и съвпада с първоначалното.
Докажете, че Qa е изометрия в хилбертовото пространството на {xt}-измерими сл. вел. с интегруем квадрат.
Shift- оператор може да се дефинира и за стационарни в широк смисъл L2-интегруеми процеси. Ако {xt} е слабо стационарен, то за h = еck xtk
|
От стационарността отново (както в силно стационарния случай) се получава, че Qa е изометрия в хилбертовото пространство от L2-граници на линейните комбинации