Теорема за компактност за безкванторни формули. Ако едно множество от безкванторни формули не притежава модел, то и някое негово крайно подмножество не притежава модел.

    Доказателство. Нека Γ е множество от безкванторни формули, което не притежава модел. Тогава някое крайно множество от затворени частни случаи на формули от Γ също не притежава модел. Ако за всяка формула θ от това крайно множество изберем по една формула от Γ, на която θ е частен случай, така избраните формули ще образуват крайно подмножество на Γ, непритежаващо модел.  _□

    Сега вече сме готови за доказателството на общата теорема.

    Теорема за компактност за предикатното смятане. Ако едно множество от безкванторни формули не притежава модел, то и някое негово крайно подмножество не притежава модел.

    Доказателство. Нека Γ е множество от формули, което не притежава модел. Ще докажем, че и някое крайно подмножество на Γ не притежава модел. Заменяйки всяка формула от Γ със затворена пренексна формула, еквивалентна на нейно универсално затваряне, можем да се ограничим със случая, когато елементите на Γ са затворени пренексни формули. Сега нека на всяка формула φ от Γ да съпоставим една нейна скулемова нормална форма по такъв начин, че използваните скулемови функционални символи за различните формули φ от Γ да бъдат различни помежду си, и нека φ^ да бъде безкванторната част на така съпоставената скулемова нормална форма на φ. Формулите φ^ можем да разглеждаме като формули при сигнатура, получена от първоначалната чрез добавяне на всички използвани скулемови функционални символи. Да означим с Γ^ множеството на всички формули φ^, където φ пробягва Γ. Понеже от всеки модел за Γ^ бихме могли чрез обедняване да получим модел за Γ, ясно е, че множеството Γ^ не притежава модел. Тъй като Γ^ е множество от безкванторни формули, някое крайно подмножество на Γ^ също не притежава модел. Това крайно подмножество на Γ^ обаче се състои от формулите φ^, съответни на формулите φ от подходящо избрано крайно подмножество Γ₀ на Γ. Множеството Γ₀ не може да ина модел, защото всеки негов модел би могъл да бъде обогатен до модел на избраното крайно подмножество на Γ^, за който можем да считаме, че има същата онази сигнатура, в която разглеждаме формулите от Γ^.  _□

    Следствие. Ако всяко крайно подмножество на едно множество от формули притежава модел, то и цялото множество притежава модел.

Последно изменение: 18.01.2010 г.