Семантика на затворените термове

СЕМАНТИКА НА ЗАТВОРЕНИТЕ ТЕРМОВЕ

Нека S = (Σ,D,I) е една структура. На всеки затворен терм τ при сигнатура Σ ще съпоставим елемент на множеството D, който ще наричаме стойност на τ в S и ще означаваме с τ^S. Това ще направим чрез следната индуктивна дефиниция, еднозначността на която следва от еднозначния прочит на затворените термове:
1. Ако τ е константа на Σ, то τ^S = I(τ).
2. Ако τ е термът ω(τ₁,…,τ_m), където m е положително цяло число, ω e m-местен функционален символ на Σ и τ₁, …, τ_m са термове, то τ^S,v = I(ω)(τ₁^S,v, …, τ_m^S,v).

Пример. Ако S′ е такава структура както в пример 3 или пример 4 от текста „Сигнатури и структури“), то затвореният терм difference(difference(one,one),one)) има стойност −1 в S′.

Забележка. Когато τ е константа на Σ, означението τ^S имаше смисъл и досега (той беше въведен в текста „Сигнатури и структури“). За щастие точка 1 от горната дефиниция не влиза в противоречие с този досегашен смисъл, тъй като и при него τ^S означава I(τ).

Когато един елемент на носителя на структурата S е стойност на някой затворен терм при сигнатура Σ, ще казваме, че този елемент е явно определим в S. Ясно е, че за да има поне един такъв елемент, необходимо и достатъчно е сигнатурата Σ да има поне една константа. Множеството на елементите на носителя на S, които са явно определими в S, е най-много изброимо, защото множеството на затворените термове при сигнатурата Σ е най-много изброимо. Следователно, ако носителят на S не е изброим, то със сигурност ще съществуват негови елементи, които не са явно определими в S.

Последно изменение: 7.11.2008 г.