Семантика на термовете

СЕМАНТИКА НА ТЕРМОВЕТЕ

Нека S=(Σ,D,I) е една структура. Оценка в S на променливите (накратко оценка в S) ще наричаме кое да е изображение на множеството Ξ на променливите в носителя D на S. От интуитивна гледна точка такова изображение може да се разглежда като уславяне за стойностите на променливите в даден конкретен случай. При обичайното използване на променливи в математиката такива уславяния се правят само за крайно многото променливи, които се използват в съответния конкретен случай, но тук заради техническо удобство работим с изображения, дефинирани за всичките безбройно много променливи.

Ако v е една оценка в S на променливите, то на всеки терм τ ще съпоставим елемент на D, който ще наричаме стойност на τ в S при оценката v и ще означаваме с τ^S,v. Това ще направим чрез следната индуктивна дефиниция, еднозначността на която следва от еднозначния прочит на термовете:
1. Ако τ е променлива, то τ^S,v = v(τ).
2. Ако τ е константа, то τ^S,v = τ^S.
3. Ако τ е термът ω(τ₁,…,τ_m), където m е положително цяло число, ω e m-местен функционален символ и τ₁, …, τ_m са термове, то τ^S,v = ω^S(τ₁^S,v, …, τ_m^S,v).

Пример. Ако S′ е онази структура, за която става дума в пример 3 от текста „Сигнатури и структури“, то за всяка оценка v в S′ имаме

difference(one,one)^S,v = difference^S(one^S,v,one^S,v) = difference^S(v(one),v(one)) = v(one)−v(one) = 0,
difference(difference(one,one),x))^S,v = difference^S(difference(one,one)^S,v,x^S,v) = difference^S(0,v(x)) = 0−v(x) = −v(x).

Чрез индукция, съобразена с дефиницията на понятието затворен терм, веднага се получава, че ако τ е затворен терм в сигнатурата на дадена структура S, то за всяка оценка v на променливите в S е в сила равенството τ^S,v = τ^S.

Последно изменение: 19.10.2009 г.