За случая на атомарна формула дефиницията е следната (коректността й произтича от еднозначния прочит на атомарните формули):

      Нека v е коя да е оценка на променливите в S. Ако φ е нулместен предикатен символ, то под φ^S,v ще разбираме интерпретацията φ^S на въпросния предикатен символ, а ако φ е думата π(τ₁,…,τ_m), където m е положително цяло число, π e m-местен предикатен символ и τ₁, …, τ_m са термове, то полагаме  φ^S,v = π^S(τ₁^S,v, …, τ_m^S,v).  Когато една атомарна формула има стойност 1 в структурата S при оценката v, ще казваме, че тази формула е вярна в S при оценката v.

      Пример 1. Нека структурата S е както в пример 3 от текста „Сигнатури и структури“. Ако φ е формулата (1) от текста „Формули на предикатното смятане“, то за всяка оценка v в S имаме

      Дадената по-горе дефиниция ще разпространим за произволни формули чрез индукция, съобразена с дефиницията на понятието формула. В случаите на генерализация и екзистенциализация при това разпространяване ще използваме следното понятие за модифициране на оценки: ако v е оценка в S на променливите, ξ е променлива и d е елемент на D, ще наричаме модификация на v за ξ чрез d и ще означаваме с v[ξ→d] онази оценка в S, която съпоставя на ξ елемента d, а за всички други променливи съвпада с v. Самата индукция, за която стана дума, ще осъществим с помощта на следните равенства:

      И за произволна формула φ при наличие на равенството φ^S,v = 1 за дадена оценка v в S ще казваме, че φ е вярна в S при оценката v. Равенствата, чрез които осъществихме индукцията, осигуряват валидността на следните твърдения при всеки избор на оценка v в S, на формули φ, ψ и на променлива ξ: 
      1. Отрицанието на φ е вярно в S при оценката v точно тогава, когато φ не е вярна в S при оценката v. 
      2. Конюнкцията на φ и ψ е вярна в S при оценката v точно тогава, когато всяка от формулите φ и ψ е вярна в S при оценката v. 
      3. Дизюнкцията на φ и ψ е вярна в S при оценката v точно тогава, когато някоя от формулите φ и ψ е вярна в S при оценката v. 
      4. Генерализацията на φ относно ξ е вярна в S при оценката v точно тогава, когато φ е вярна в S при оценката v[ξ→d] за всеки елемент d на множеството D. 
      5. Екзистенциализацията на φ относно ξ е вярна в S при оценката v точно тогава, когато φ е вярна в S при оценката v[ξ→d] за някой елемент d на множеството D.

      Тези твърдения показват, че дефинираната тук семантика на неатомарните формули е в съгласие с интуитивната им семантика, произтичаща от техния прочит и от семантиката на атомарните формули.

      Пример 2. Нека структурата S е както в пример 3 от текста „Сигнатури и структури“. С помощта на твърденията 1–5 ще изследваме кога са верни неатомарните формули (3)–(11) от споменатия текст:

Формулата (3) не е вярна в S при никоя оценка, а формулата (5) е вярна в S при всяка оценка.

Нека v е произволна оценка в S. Бидейки конюнкция на формулите (1) и (2), формулата (3) е вярна в S при оценката v точно тогава, когато всяка от формулите (1) и (2) е вярна в S при оценката v, т.е. точно тогава, когато числото v(x) удовлетворява невъзможното изискване да е едновременно положително и отрицателно. Значи формулата (3) със сигурност е невярна в S при оценката v, следователно формулата (5), която е отрицанието на (3), със сигурност е вярна в S при оценката v.

Формулата (4) е вярна в S точно при онези оценки v, за които v(x) е различно от 0.

Нека v е произволна оценка в S. Понеже формулата (4) е дизюнкция на формулите (1) и (2), за да бъде тя вярна в S при оценката v, необходимо и достатъчно е поне една от формулите (1) и (2) да е вярна в S при оценката v, т.е. числото v(x) да е положително или отрицателно. Значи (4) е вярна при S при оценката v точно тогава, когато v(x) е различно от 0.

Формулата (6) е вярна в S при всяка оценка.

Формулата (6) е отрицание на екзистенциализацията на (3) относно x. Споменатата екзистенциализация да бъде вярна в S при дадена оценка v би означавало формулата (3) да бъде вярна в S при оценката v[x→d] за някое d от D, а (3) не е вярна в S при никоя оценка. Следователно разглежданата екзистенциализация не е вярна в S при никоя оценка и значи (6) е вярна в S при всяка оценка.

Формулата (7) не е вярна в S при никоя оценка.

Нека v е произволна оценка в S. Понеже (7) е генерализация на (4) относно x, за да бъде (7) е вярна в S при оценката v, необходимо и достатъчно е (4) да е вярна в S при оценката v[x→d] всяко d от D. При d=0 обаче формулата (4) не е вярна в S при оценката v[x→d]. Следователно формулата (7) не е вярна в S при оценката v.

Формулата (8) е вярна в S точно при онези оценки v, за които v(y)=v(x)+1.

Нека v е произволна оценка в S. Понеже (8) е конюнкция на двете формули positive(difference(y,x)),
¬∃z (positive(difference(y,z))&positive(difference(z,x))), за верността на (8) в S при оценката v е необходимо и достатъчно всяка от въпросните две формули да е вярна в S при оценката v. Първата от тях е вярна в S при оценката v точно тогава, когато v(y)>v(x), а втората  -  точно тогава, когато в S при оценката v не е вярна формулата ∃z (positive(difference(y,z))&positive(difference(z,x))), т.е. точно тогава, когато формулата (positive(difference(y,z))&positive(difference(z,x))) не е вярна в S при оценката v[z→d] за никое d от D. Последното е равносилно с несъществуването на число d от D, удовлетворяващо неравенствата v(y)>d>v(x). Да не съществува такова d и да бъде изпълнено неравенството v(y)>v(x) е равносилно с равенството v(y)=v(x)+1.

Формулата (9) е вярна в S при всяка оценка.

Нека v е произволна оценка в S. Като използваме последователно твърденията 4 и 5, виждаме, че за да бъде вярна (9) в S при оценката v, необходимо и достатъчно е за всяко d от D да съществува такова e от D, че формулата (8) да е вярна в S при оценката v[x→d][y→e]. Тъй като верността на (8) при споменатата оценка е равносилна с равенството e=d+1, ясно е, че за всяко d от D можем да осигурим вярност на формулата (8) в S при оценката v[x→d][y→e], вземайки в качеството на e числото d+1.

Формулата (10) е вярна в S точно при онези оценки v, за които v(x) е положително.

Нека v е произволна оценка в S. Понеже (10) е генерализация на (1) относно y, за да бъде вярна (10) в S при оценката v, необходимо и достатъчно (1) да е вярна в S при оценката v[y→d] за всяко d от D, а това е равносилно с условието v(x) да е положително.

Формулата (11) е вярна в S точно при онези оценки v, за които v(x)>2.

Нека v е произволна оценка в S. Понеже (11) е екзистенциализация относно y на формулата (positive(difference(x,y))&∃x (positive(difference(y,x))&positive(x))), за да бъде вярна (11) в S при оценката v, необходимо и достатъчно е да съществува такова d от D, че в S при оценката v[y→d] да бъде вярна всяка от двете формули positive(difference(x,y)),
∃x (positive(difference(y,x))&positive(x)). Нека d е произволно число от D. Верността на първата от тези две формули в S при оценката v[y→d] е равносилна с условието v(x)>d. Верността на втората в S при оценката v[y→d] пък е равносилна с условието да съществува такова e от D, че всяка от двете формули positive(difference(y,x)),
positive(x) да е вярна в S при оценката v[y→d][x→e], т.е. със съществуването в D на положително число e, което е по-малко от d. В крайна сметка верността на формулата (11) в S при оценката v се оказва равносилна със съществуването на числа d и e от D, удовлетворяващи неравенствата v(x)>d>e>0, а съществуването на такива d и e е равносилно с неравенството v(x)>2.

Последно изменение: 13.11.2008 г.