Запазване на тъждествената вярност при преминаване от формула към неин частен случай. Ако една формула φ е тъждествено вярна в дадена структура S, то всички частни случаи на φ са тъждествено верни в S.

      Доказателство. Нека χ е частен случай на формула φ, която е тъждествено вярна в дадена структура S. Тогава χ = σφ за някоя субституция σ, приложима към φ, и за всяка оценка v в S ще имаме

      Следствие. Ако една формула е тъждествено вярна, то всички нейни частни случаи са тъждествено верни.

      Запазване на изпълнимостта при преминаване от частен случай на формула към самата нея. Ако някой частен случай на една формула φ е изпълним в дадена структура S, то φ е изпълнима в S.

      Доказателство. Нека една формула φ има частен случай χ, който е изпълним в дадена структура S, т.е. χ^S,v = 1 за някоя оценка v в S. Имаме равенството χ = σφ за някоя субституция σ, приложима към φ, и това дава

      Следствие. Ако една формула има изпълним частен случай, то тя е изпълнима.

      Сред частните случаи на една формула особено важни са затворените, т.е. онези, които са затворени формули. Следствието от твърдение 3 в текста „Прилагане на субституция към формула“ показва, че затворените частни случаи на една формула са точно онези, които се получават чрез прилагане към нея на субституции, съпоставящи на всички нейни свободни променливи затворени термове (достатъчното условие за приложимост на дадена субституция към дадена формула позволява да твърдим, че всяка такава субституция е приложима към формулата, а твърдение 2 в споменатия текст показва, че бихме могли да се ограничим със субституции, които на всяка друга променлива съпоставят самата нея).

      От доказаното по-горе е ясно, че ако една формула е тъждествено вярна в дадена структура, то всички затворени частни случаи на тази формула са верни във въпросната структура, а ако някой затворен частен случай на дадена формула е верен в дадена структура, то формулата е изпълнима в тази структура. Обратните твърдения не винаги са в сила, но те са в сила за структурите, в които е явно определим всеки елемент на носителя на структурата (т.е. всеки елемент на носителя на структурата е стойност в нея на някой затворен терм). С други думи, в сила е следното твърдение.

      Достатъчно условие за свеждане на тъждествена вярност и на изпълнимост на формула към вярност на нейни затворени частни случаи. Нека S е такава структура, че всеки елемент на нейния носител е явно определим в S. Тогава, ако всички затворени частни случаи на една формула са верни в S, то формулата е тъждествено вярна в S, а ако една формула е изпълнима в S, то някой неин затворен частен случай е верен в S.

      Доказателство. Нека φ е произволна формула. Ще докажем най-напред помощното твърдение, че за всяка оценка v на променливите в S съществува затворен частен случай на φ, на който стойността в S е равна на стойността на φ в S при оценката v. За целта, когато е дадена такава оценка, разглеждаме субституция σ, съпоставяща на всяка свободна променлива ξ на φ някой затворен терм, чиято стойност в S е равна на v(ξ), и образуваме затворения частен случай σφ на φ. По теоремата за стойността на резултат от прилагане на субституция към формула имаме

      Ако универсално затваряне на една формула φ е вярно в дадена структура S, то φ е тъждествено вярна в S и значи всички частни случаи на φ са тъждествено верни в S. Ако пък частен случай на една формула е изпълним в дадена структура S, то и самата формула е изпълнима в S и значи кое да е нейно екзистенциално затваряне е вярно в S. Това показва, че от универсално затваряне на една формула следва всеки частен случай на формулата. а от частен случай на формулата следва кое да е нейно екзистенциално затваряне. Тези твърдения допускат следното усилване.

      Закони за универсална и за екзистенциална конкретизация. Нека φ е формула, ξ₁, …, ξ_k , където k≥1, са променливи, които при k>1 са две по две различни, θ₁, …, θ_k са термове, субституцията [ξ₁/θ₁,…,ξ_k/θ_k] е приложима към φ и χ е резултатът от прилагането на тази субституция към φ. Тогава

      Доказателство. Нека S е произволна структура, а v е някоя оценка в нея. Имаме равенството χ^S,v = φ^S,v', където v' = [ξ₁/θ₁,…,ξ_k/θ_k]^S(v). Като положим d_i = θ_i^S,v, i=1,…,k, и изпозваме забележка 1 от текста „Стойност на резултат от прилагане на субституция“, можем да представим оценката v' във вида v' = v[ξ₁→d₁]…[ξ_k→d_k]. Ако формулата ∀ξ₁…∀ξ_k φ е вярна в структурата S при оценката v, то току-що отбелязаното представяне на оценката v' позволява да заключим, че формулата φ е вярна в S при оценката v' и следователно χ е вярна в S при оценката v (за да заключим, че при вярност на ∀ξ₁…∀ξ_k φ в S при оценката v формулата φ е вярна в S при оценката v', последователно се убеждаваме, че при споменатото предположение формулата ∀ξ₂…∀ξ_k φ е вярна в S при оценката v[ξ₁→d₁], формулата ∀ξ₃…∀ξ_k φ е вярна в S при оценката v[ξ₁→d₁][ξ₂→d₂] и т.н.). Ако пък χ е вярна в S при оценката v, то φ е вярна в S при оценката v' и, използвайки същото представяне на оценката v', можем да заключим, че и формулата ∃ξ₁…∃ξ_k φ е вярна в S при оценката v (за да заключим, че при вярност на φ в S при оценката v' формулата ∃ξ₁…∃ξ_k φ е вярна в S при оценката v, последователно се убеждаваме, че при споменатото предположение формулата ∃ξ_k φ е вярна в S при оценката v[ξ₁→d₁]…[ξ_k−1→d_k−1], формулата ∃ξ_k−1∃ξ_k φ е вярна в S при оценката v[ξ₁→d₁]…[ξ_k−2→d_k−2] и т.н.). Поради произволността на S и v с това доказателството е завършено.  _□

      В някои случаи е полезно и следното твърдение.

      Лема за преименуване на свързана променлива. Нека φ е формула, ξ и ξ' са променливи, като ξ' не е променлива на φ. Тогава субституцията [ξ/ξ'] е приложима към φ и са в сила еквивалентностите

      Доказателство. Приложимостта на субституцията [ξ/ξ'] към формулата φ е ясна от достатъчното условие за приложимост на субституция към формула (използваме, че ξ' не е свързана променлива на φ). Като се има предвид семантиката на кванторите за общност и за съществуване, за доказателството на двете еквивалентности от лемата е достатъчно да се докаже, че при всеки избор на структура S, на оценка v в нея и на елемент d на носитела на S е в сила равенството

      Забележка 1. Лесно се проверява, че при направеното предположение за ξ' формулите, които са страни на еквивалентностите от лемата, имат едно и също множество на свободните променливи.

      Забележка 2. В типичните случаи на прилагане на лемата ξ е свободна променлива на φ. Независимо от това заключението на лемата очевидно остава в сила и ако в качеството на ξ' вземем променливата ξ (тогава еквивалентностите се превръщат в равенства).

Последно изменение: 12.12.2008 г.