ИМПЛИКАЦИЯ И ЕКВИВАЛЕНЦИЯ
За всеки две формули φ и ψ ще означаваме с (φ→ψ) формулата (¬φ∨ψ), а с (φ↔ψ) - формулата ((φ→ψ)&(ψ→φ)) (в означенията (φ→ψ) и (φ↔ψ) често ще пропускаме външните скоби). Формулата (φ→ψ) ще наричаме импликация от φ към ψ и ще я четем „ако φ, то ψ“, а формулата (φ↔ψ) ще наричаме еквиваленция
на φ и ψ и ще я четем „φ е равносилно на ψ“. Формулите φ и ψ ще наричаме съответно предпоставка и заключение на импликацията от φ към ψ и лява страна и дясна страна на еквиваленцията на φ и ψ. От дефиницията за импликация получаваме, че импликацията от φ към ψ е невярна в дадена структура S при дадена оценка v на променливите тогава и само тогава, когато в S при оценката v формулата φ е вярна, а формулата ψ е невярна (т.е. при обичайното за математиката разбиране на условните твърдения верността на формулата φ→ψ в S при оценката v е равносилна с изискването „ако φ е вярна в S при оценката v, то и ψ е вярна в S при оценката v“). Като използваме това обстоятелство и дефиницията за еквиваленция, виждаме, че за всяка структура S и всяка оценка v в S на променливите са в сила следните твърдения:
| (φ→ψ)S,v = {
| 1, ако φS,v≤ψS,v,
0 в противен случай,
|
| (φ↔ψ)S,v = {
| 1, ако φS,v=ψS,v,
0 в противен случай,
|
Оттук е ясно, че формулата φ→ψ е тъждествено вярна точно тогава, когато ψ следва от φ, а формулата φ↔ψ е тъждествено вярна точно тогава, когато φ и ψ са еквивалентни.
Забележка 1. За всеки две формули φ и ψ е в сила еквивалентността
φ→ψ ≡ ¬(φ&¬ψ).
И наистина, от свойствата на еквивалентността между формули имаме
¬(φ&¬ψ) ≡ ¬φ∨¬¬ψ ≡ ¬φ∨ψ = φ→ψ.
Забележка 2. Лесно се проверява, че за всеки две формули φ и ψ са в сила следните твърдения:
1. {φ→ψ, φ} ⊨ ψ.
2. Ако за дадена формула θ е в сила съотношението {θ, φ} ⊨ ψ, то θ ⊨ φ→ψ.
Последно изменение: 3.11.2009 г.