Съдържание 
 

ИМПЛИКАЦИЯ И ЕКВИВАЛЕНЦИЯ

      За всеки две формули φ и ψ ще означаваме с ψ) формулата (¬φψ), а с ψ)  -  формулата (ψ)&(ψφ)) (в означенията ψ) и ψ) често ще пропускаме външните скоби). Формулата ψ) ще наричаме импликация от φ към ψ и ще я четем ако φ, то ψ, а формулата ψ) ще наричаме еквиваленция на φ и ψ и ще я четем φ е равносилно на ψ. Формулите φ и ψ ще наричаме съответно предпоставка и заключение на импликацията от φ към ψ и лява страна и дясна страна на еквиваленцията на φ и ψ. От дефиницията за импликация получаваме, че импликацията от φ към ψ е невярна в дадена структура S при дадена оценка v на променливите тогава и само тогава, когато в S при оценката v формулата φ е вярна, а формулата ψ е невярна (т.е. при обичайното за математиката разбиране на условните твърдения верността на формулата φψ в S при оценката v е равносилна с изискването ако φ е вярна в S при оценката v, то и ψ е вярна в S при оценката v). Като използваме това обстоятелство и дефиницията за еквиваленция, виждаме, че за всяка структура S и всяка оценка v в S на променливите са в сила следните твърдения:
ψ)S,v = { 1,  ако φS,v≤ψS,v,
0  в противен случай,
ψ)S,v = { 1,  ако φS,vS,v,
0  в противен случай,
Оттук е ясно, че формулата φψ е тъждествено вярна точно тогава, когато ψ следва от φ, а формулата φψ е тъждествено вярна точно тогава, когато φ и ψ са еквивалентни.

      Забележка 1. За всеки две формули φ и ψ е в сила еквивалентността

φψ ¬(φ&¬ψ).
И наистина, от свойствата на еквивалентността между формули имаме
¬(φ&¬ψ) ¬φ¬¬ψ ¬φ∨ψ = φψ.

      Забележка 2. Лесно се проверява, че за всеки две формули φ и ψ са в сила следните твърдения:
        1. {φψ, φ} ψ.
        2. Ако за дадена формула θ е в сила съотношението  {θ, φ} ψ,  то  θ φψ.
 

Последно изменение: 3.11.2009 г.