Една структура S ще наричаме ербранова, ако са изпълнени следните условия: 
      1. Носител на структурата S е Ербрановият универсум за нейната сигнатура.
      2. За всяка константа ω от сигнатурата на S е в сила равенството ω^S = ω, а за всяко положително цяло число n и всеки n-местен функционален символ ω от сигнатурата на S при всеки избор на елементи τ₁, …, τ_n на носителя на S стойността на функцията ω^S за n-орката (τ₁,…,τ_n) е равна на терма ω(τ₁,…,τ_n).

    Тъй като носителят на една структура не бива да е празен, ясно е, че ербранова структура с дадена сигнатура може да съществува само при условие, че сигнатурата има поне една константа. От друга страна, когато това условие е изпълнено за дадена сигнатура, то можем да построим ербранова структура с тази сигнатура по следния начин: в съответния Ербранов универсум дефинираме функциите, интерпретиращи функционалните символи, така, че да е изпълнено изискването 2 от горната дефиниция, а на предикатните символи съпоставяме произволни предикати с нужния брой аргументи.

    Първа основна лема за ербрановите структури. Нека S е произволна ербранова структура. Тогава τ^S = τ за всеки затворен терм τ.

     Доказателство. Ще използваме индукция, основаваща се на обстоятелството, че всеки затворен терм може да се получи от константи чрез някакъв брой пъти образуване на съставен терм. А именно, ще покажем, че свойството, което доказваме, е налице за константите и се запазва при образуване на съставен терм. Ako τ е константа, то равенството τ^S = τ се получава направо от втората точка на дефиницията за ербранова структура. Да предположим сега, че даден терм τ има вида ω(τ₁,…,τ_n), където τ₁, …, τ_n са затворени термове и τ_i^S = τ_i при i=1,…,n. Тогава

    Следствие 1. Ако S е ербранова структура, то всеки два различни затворени терма (ако съществуват такива) имат различни стойности в S.

    Забележка. Уговорката, добавена в скоби в горното следствие, е по повод на това, че би могло да се случи да съществува само един затворен терм. Положението ще бъде такова точно тогава, когато в сигнатурата има една константа и няма нито един друг функционален символ (това е всъщност случаят, когато Ербрановият универсум се състои само от един елемент).

    Следствие 2. Ако S е ербранова структура, то всеки елемент на носителя й е явно определим в S (т.е. представлява стойност в S на някой затворен терм).

    Следствие 3. Нека S е произволна ербранова структура, n е положително цяло число, π е n-местен предикатен символ от сигнатурата на S и τ₁, …, τ_n са затворени термове. В такъв случай атомарната формула π(τ₁,…,τ_n) е вярна в S точно тогава, когато π^S(τ₁,…,τ_n) = 1.

    Втора основна лема за ербрановите структури. Нека Σ е сигнатура с поне една константа, а Γ е дадено множество от затворени атомарни формули при тази сигнатура. Тогава съществува точно една ербранова структура S със свойството,че в S са верни онези и само онези затворени атомарни формули, които принадлежат на Γ.

    Доказателство. Нека S е произволна ербранова структура със сигнатура Σ. С помощта на следствие 3 се вижда, че структурата S ще има изказаното в лемата свойство точно тогава, когато са изпълнени следните две условия: а) за всяко положително цяло число n и всеки n-местен предикатен символ π на Σ множеството на истинност на предиката π^S се състои точно от онези n-орки (τ₁,…,τ_n) от затворени термове, за които атомарната формула π(τ₁,…,τ_n) принадлежи на Γ; б) равенството π^S = 1 е в сила точно за онези нулместни предикатни символи на Σ, които принадлежат на Γ. Лесно е да се види обаче, че със сигнатурата Σ съществува точно една ербранова структура S, за която са изпълнени условията а) и б). Действително, дефиницията за ербранова структура определя еднозначно носителя на структурата и интерпретациите на функционалните символи, а пък условията а) и б) определят еднозначно интерпретациите на предикатните символи.  _□

Последно изменение: 28.01.2009 г.