Ще разглеждаме формули и субституции при сигнатура с поне една константа.

    Теорема на Ербран. Ако едно множество от безкванторни формули не притежава модел, то някое крайно множество от затворени частни случаи на формули от това множество е неизпълнимо.

    Доказателство. Нека е дадено едно множество Γ от безкванторни формули, което не притежава модел. Да означим с Γ° множеството на всички затворени частни случаи на формули от Γ. За всяка формула θ от Γ° да изберем едно крайно множество Δ_θ от затворени дизюнкти, което я представя. Нека Δ е обединението на всички така избрани множества Δ_θ. Множеството Δ е неизпълнимо. И наистина, ако Δ би било изпълнимо, то, както знаем, би съществувала ербранова структура, която е модел на Δ и следователно е модел на Γ°. Тогава, съгласно едно разгледано от нас достатъчно условие за свеждане на тъждествена вярност и на изпълнимост на формула към вярност на нейни затворени частни случаи, същата структура би била модел и за множеството Γ  –  в противоречие с направеното предположение за това множество. От неизпълнимостта ма множеството Δ по теоремата за компактност за множества от затворени дизюнкти следва, че и някое крайно подмножество на Δ е неизпълнимо. То се съдържа в обединението на множествата Δ_θ, съответстващи на някои краен брой формули θ от множеството Γ°, и те очевидно образуват негово крайно подмножество, непритежаващо нодел.  _□

    Забележка 1. Теоремата на Ербран може да се изкаже в следния вид, равносилен на горния:  ако едно множество от универсални затваряния на безкванторни формули е неизпълнимо, то някое крайно множество от затворени частни случаи на самите безкванторни формули също е неизпълнимо.

    Забележка 2. В литературата се срещат различни версии и варианти на теоремата на Ербран. Например понякога разглежданията отговарят на специалния случай, когато множеството, за което става дума в използваната тук формулировка, е от само една формула.

Последно изменение: 18.01.2010 г.