Съдържание 
 

ПРОМЕНЛИВИ И КОНСТАНТИ НА ТЕРМ. ЗАТВОРЕНИ ТЕРМОВЕ

      Както досега под термове ще разбираме термове в дадена сигнатура Σ, която за краткост обикновено няма да споменаваме. На всеки терм τ ще съпоставим едно множество от променливи, което ще означаваме с VAR(τ), и едно множество от константи на Σ, което ще означаваме с CONST(τ). Елементите на тези множества ще наричаме съответно променливи на τ и константи на τ, а самите множества ще наричаме разбира се множество на променливите на τ и множество на константите на τ. Дефиницията е индуктивна, като нейната еднозначност следва от еднозначността на прочита на термовете:
        1. Ако τ е променлива, то VAR(τ)={τ}, CONST(τ)=∅.
        2. Ако τ е константа на Σ, то VAR(τ)=∅, CONST(τ)={τ}.
        3. Ако τ=ω(τ1,…,τm), където m е положително цяло число, ω e m-местен функционален символ на Σ и τ1, …, τm са термове, то VAR(τ) е обединението на множествата VAR(τ1), …, VAR(τm), а CONST(τ) е обединението на множествата CONST(τ1), …, CONST(τm).

      Променливите и константите на един терм са, тъй да се каже, онези променливи и онези константи, които се използват при неговото построяване въз основа на дефиницията за терм. Чрез индукция, съобразена с нея, веднага се вижда, че за всеки терм τ множествата VAR(τ) и CONST(τ) са крайни и че всеки терм има поне една променлива или поне една константа. Вижда се също, че всяка от променливите и всяка от константите на един терм е негова поддума (оттук пак следва, че множеството на променливите му и множеството на константите му са крайни). В общия случай обаче не може да се твърди, че всяка променлива, която е поддума на даден терм, принадлежи на множеството на неговите променливи и че всяка константа, която е поддума на терма, принадлежи на множеството на неговите константи. Например би могло да се случи една дума, която е променлива или е константа на Σ, да е поддума на друга такава дума.

      За един терм ще казваме, че е затворен, ако множеството на неговите променливи е празно. От тази дефиниция веднага следва, че константите на Σ са затворени термове, а променливите не са. Следва също, че за да бъде затворен даден терм от вида ω(τ1,…,τm), където m е положително цяло число, ω e m-местен функционален символ на Σ и τ1, …, τm са термове, необходимо и достатъчно е всеки от термовете τ1, …, τm да бъде затворен.

      Дали съществуват затворени термове зависи от дадената сигнатура Σ. За да съществува поне един затворен терм, необходимо и достатъчно е тя да има поне една константа. Достатъчността е очевидна, а необходимостта следва от обстоятелството, че всеки затворен терм има поне една константа (понеже по дефиниция затворените термове нямат променливи).

      На понятието затворен терм може да се даде и индуктивна дефиниция, състояща се от две точки: всяка константа на Σ е затворен терм и винаги, когато m е положително цяло число, ω e m-местен функционален символ на Σ и τ1, …, τm са затворени термове, думата ω(τ1,…,τm) също е затворен терм. Чрез индукция, съобразена с тази дефиниция, се вижда, че всички затворени термове в смисъл на нея са затворени термове и в смисъл на другата (т.е. имат празно множество на променливите). Обратното пък може да се докаже, като се покаже (чрез индукция, съобразена с дефиницията за терм), че всеки терм има поне една променлива или е затворен в смисъл на индуктивната дефиниция за затворен терм (следователно термовете, които нямат променливи, са затворени в смисъл на индуктивната дефиниция).
 

Последно изменение: 28.11.2006 г.